Vértices de un triángulo equilátero

Enunciado
Sean $z_1 , z_2, z_3$ tres números complejos tales que $$\left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |\text{ y }z_1+z_2+z_3=0.$$ Demostrar que son los vértices de un triángulo equilátero.
Solución
Sean $\left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=a>0.$ Tenemos $$z_1+z_2=-z_3\Rightarrow |z_1+z_2|^2=|z_3|^2\Rightarrow (z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})=a^2$$ $$\Rightarrow (z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2})=a^2\Rightarrow |z_1|^2+|z_2^2|+z_1\bar{z_2}+z_2\bar{z_1}=a^2$$ $$\Rightarrow z_1\bar{z_2}+z_2\bar{z_1}=-a^2.$$ Entonces, $$|z_1-z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2-z_1\bar{z_2}-z_2\bar{z_1}=a^2+a^2+a^2\Rightarrow |z_1-z_2|=\sqrt{3}a.$$ De manera análoga se demuestra $|z_2-z_3|=|z_3-z_1|=\sqrt{3}a$, lo cual implica que $z_1 , z_2, z_3$ son los vértices de un triángulo equilátero.