Separación de puntos y espacios de Hausdorff

RESUMEN. Demostramos una condición suficiente para que un espacio sea de Hausdorff via separación de puntos de familia de funciones continuas.

Enunciado
Sean $X$ e $Y$ conjuntos y una clase de aplicaciones $$\mathcal{F}=\{f_i:X\to Y, i\in I\}.$$ Se dice que $\mathcal{F}$ \emph{separa puntos} si y sólo si para todo par de elementos $x,y$ de $X$ con $x\ne y$ existe $i\in I$ con $f_i(x)\ne f_i(y).$
1) Estudiar si la familia $\mathcal{F}=\{f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f_n(x)=\sin nx, n=1,2,3,\ldots\}$ separa puntos.
2) Sea $(X,T)$ un espacio topológico y $\mathcal C(X,\mathbb R)$ y el conjunto de las funciones continuas de $X$ en $\mathbb R.$ Demostrar que si $\mathcal C(X,\mathbb R)$ separa puntos entonces $(X,T)$ es espacio de Hausdorff.

Solución
1) Para cada función $f\in\mathcal{F}$ se verifica $f_n(0)=f_n(\pi)=0$, en consecuencia $\mathcal{F}$ no separa puntos.
2) Sean $x,y$ dos puntos distintos de $X.$ Por hipótesis existe una función continua $f:X\to \mathbb R$ tal que $f(x)\ne f(y).$ Como $\mathbb R$ es espacio de Hausdorff existen $G,H$ subconjuntos abiertos y disjuntos de $\mathbb R$ que contienen a $f(x)$ y $f(y)$ respectivamente. Por tanto $f^{-1}(G)$ y $f^{-1}(H)$ son abiertos disjuntos que contienen a $x$ e $y$ respectivamente. Es decir, $(X,T)$ es espacio de Hausdorff.