Módulo del seno complejo y del coseno complejo

RESUMEN. Determinamos el módulo del seno complejo y del coseno complejo.

Enunciado
Sea $z=x+iy\in\mathbb C$ con $x,y\in\mathbb R$. Demostrar que $$(a)\; \left|\sin z\right| = \sqrt {\sin^2 x + \sinh^2 y}.\qquad (b)\;\left|\cos z\right| = \sqrt {\cos^2 x + \sinh^2 y}.$$
Solución
$(a)$ Tenemos $\sin z=\sin (x+iy)=\sin x \cos (iy)+\cos x\sin (iy).$ Por otra parte, $$\cos (iy)=\frac{e^{i(iy)}+e^{-i(iy)}}{2}=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh y,$$ $$\sin (iy)=\frac{e^{i(iy)}-e^{-i(iy)}}{2}=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=-i\frac{e^{-y}-e^y}{2}=i\sinh y.$$ Es decir, $\sin z=\sin x \cosh y + i \cos x \sinh y.$ Por tanto, $$ \left|\sin z\right|^2 =(\sin x \cosh y)^2 + (\cos x \sinh y)^2=\sin^2x\cosh^2y+\cos^2x\sinh^2y$$ $$=\sin^2x(1+\sinh^2x)+\cos^2x\sinh^2y=\sin^2x+(\sin^2x+\cos^2x)\sinh^2 y$$ $$=\sin^2 x + \sinh^2 y.$$ En consecuencia, el módulo del seno complejo es $$ \left|\sin z\right| = \sqrt {\sin^2 x + \sinh^2 y}.$$ $(b)$ Tenemos $$\cos z=\cos (x+iy)=\cos x \cos (iy)-\sin x\sin (iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.$$ Entonces, $$\left|\sin z\right|^2 =(\cos x \cosh y)^2 + (\sin x \sinh y)^2=\cos^2x\cosh^2y+\sin^2x\sinh^2y$$ $$=\cos^2x(1+\sinh^2x)+\sin^2x\sinh^2y=\cos^2x+(\cos^2x+\sin^2x)\sinh^2 y$$ $$=\cos^2x+\sinh^2 y.$$ En consecuencia, el módulo del coseno complejo es $$ \left|\cos z\right| = \sqrt {\cos^2 x + \sinh^2 y}.$$