Función zeta de Riemann

RESUMEN. Definimos la función zeta de Riemann en la región $\text{Re z} > 1$

Teorema
Para $\text{Re }z > 1$ se define $$\zeta (z):=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^z}$$ Demostrar que $\zeta$ está bien definida y es analítica. A la función $\zeta$ de la llama función zeta de Riemann.

Demostración
Para todo $n\ge 1$,$$\left|\frac{1}{n^z}\right|=\left|\frac{1}{e^{(x+iy)\log n}}\right|=\left|\frac{1}{(e^{x\log n})(e^{iy\log n})}\right|=\left|\frac{1}{e^{x\log n}}\right|\left|\frac{1}{e^{iy\log n}}\right|$$ $$=\left|\frac{1}{(e^{\log n})^x}\right|\cdot 1=\frac{1}{n^x}.$$ Si $x=\text{Re z} \ge 1+\delta$ con $\delta > 0$ tenemos la acotación $$\left|\frac{1}{n^z}\right|\le \frac{1}{n^{1+\delta}}$$ y la serie numérica $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{1+\delta}}$$ es convergente. Esto implica que la serie $$\zeta (z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^z}$$ es absolutamente convergente en $\text{Re z} > 1,$ y por el criterio de Weierstrass, también uniformemente convergente. Dado que cada función $1/n^z$ es analítica, también lo es su suma.
Nota. Se demuestra que la función zeta de Riemann se puede extender a una función meromorfa en todo $\mathbb{C}$ salvo en el polo simple $z=1.$