Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.
- Concepto de conjunto
- Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
- Unión e intersección de conjuntos
- Propiedades de la unión e intersección
- Cardinal de la unión de tres conjuntos
- Partes de un conjunto, complementario y diferencia
- Relaciones de inclusión y pertenencia
- Propiedades del complementario
- Simplificaciones en las partes de un conjunto
- Diagramas de Venn
- Producto cartesiano
- Partes del producto y producto de las partes
- Unión e intersección generalizadas
- Función característica
- Diferencia simétrica: propiedad asociativa
- Partes de uniones e intersecciones
- Cardinales de las sigma-álgebras contables
- Límite de una sucesión de conjuntos
- Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
- Mínima $\sigma-$álgebra que contiene a otra y a un conjunto
- Concepto de relación binaria
- Relación de equivalencia, conjunto cociente
- Partición de un conjunto
- Concepto de relación de orden
- Máximo, mínimo, cotas
- Supremo, ínfimo, maximales y minimales
- Orden total, buen orden
- Diagramas de Hasse
- Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
- Tres relaciones en $\mathbb{N}$
- Finura de las relaciones de orden
- Orden lexicográfico
- Teorema de la buena ordenación de Zermelo
- Concepto de función
- Composición de funciones
- Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
- Aplicación identidad, aplicación inversa
- Imágenes directas e inversas de conjuntos
- Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
- Aplicación involutiva
- Factorización canónica de una aplicación
- Factorización canónica de la función seno
- Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
- Cardinales infinitos no regulares
- Concepto de grupo
- Primeras propiedades de los grupos
- Subgrupos
- Tabla de Cayley
- Generadores de un grupo, grupo cíclico
- Subgrupos normales
- Subgrupo normal y centro
- Grupo cociente
- Grupo de clases residuales
- Homomorfismos de grupos
- Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
- Clasificación de homomorfismos de grupos
- Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
- Grupo de las partes con la diferencia simétrica
- Tres igualdades en un grupo.
- Grupo no cíclico
- Grupo de funciones matriciales
- Conjunto, grupo y aplicación
- Relación y operaciones en el plano
- Grupo de aplicaciones afines.
- Centro de un grupo de matrices
- Grupo construido por biyección
- Conmutador y subgrupo derivado
- Todo grupo de orden 4 es abeliano
- Grupo de Klein y sus automorfismos
- Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
- Todo grupo de orden primo es cíclico
- Grupos de orden 4
- Grupos de orden 6
- Grupo en $(-1,1)$
- Estructura de grupo en todo conjunto no vacío
- Producto directo externo de grupos
- Concepto de anillo
- Anillo de sucesiones
- Producto directo de anillos
- Anillos: notaciones y propiedades
- Grupo multiplicativo de las unidades
- Anillo de los enteros de Gauss
- Anillo de clases residuales
- Anillos de integridad
- Subanillos
- Homomorfismos de anillos
- Ideales de un anillo
- Ideal de las sucesiones nulas
- Ideal bilátero f (I).
- Anillo cociente
- Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
- Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
- Concepto de cuerpo
- Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
- Característica de un cuerpo
- Homomorfismos entre cuerpos
- Anillo según parámetro
- Anillo y grupo de matrices
- Máximo común divisor en los enteros de Gauss
- Dominio de integridad no euclídeo
- Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
- Binomio de Newton en un anillo
- Anillo de las funciones reales
- Anillo idempotente
- Intersección de subcuerpos
- Cuerpo infinito con característica finita
- Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
- Cuaternios de Hamilton
- Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
- Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
- Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
- Semianillo tropical
- Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
- Caracterización de anillos noetherianos
- El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
- Ideal generado por un subconjunto de un anillo
- $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
- Cardinal de un cuerpo finito
- Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
- Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
- $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
- Caracterizaciones de cuerpos
- Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
- Cuerpo primo
- Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
- Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
- Ideales biláteros en el anillo de matrices
- Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
- Teorema de Wedderburn
- Existencia de ideales maximales
- Cuerpo de fracciones de un dominio de integridad
- Conmutatividad de la suma en los anillos
- Sistemas lineales escalonados
- Reducción gaussiana
- Sistemas lineales según parámetros
- Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
- Concepto de matriz, suma de matrices
- Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
- Producto de un escalar por una matriz
- Multiplicación de matrices
- Inversa de una matriz
- Inversa de orden n por el método de Gauss
- Inversa de orden n por sistema de columnas
- Ecuaciones y sistemas matriciales
- Transposición de matrices
- Descomposición $A=uv^t$
- Matriz nilpotente e inversa
- Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
- Traza de una matriz, propiedades
- Matrices mágicas
- Matriz de Markov
- Inversa generalizada
- Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
- Determinantes sencillos
- Determinantes por triangularización
- Determinantes por inducción
- Determinante de Vandermonde
- Regla de Cramer
- Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
- Determinante y sucesión de Fibonacci
- Determinante con números combinatorios
- Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
- Determinante e inversa de orden n
- Determinante de $I + v w$
- Determinante por inducción y sistema lineal
- Derivada de un determinante
- Igualdad de matrices a partir de una de determinantes
- Primeras propiedades de los espacios vectoriales
- Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
- Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
- Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
- Espacio vectorial de las funciones reales
- Subcuerpo como espacio vectorial
- Subespacios vectoriales, caracterización
- Suma e intersección de subespacios
- Suma directa de subespacios
- Combinación lineal de vectores
- Dependencia e independencia lineal de vectores
- Base de un espacio vectorial
- Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
- Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
- Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
- Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
- Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
- Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
- Acotación del rango del producto de dos matrices
- Teorema de la base incompleta
- Existencia de base en todo espacio vectorial
- Dimensión de un espacio vectorial
- Teorema de la torre
- Propiedades de la dimensión
- Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
- Teorema de Grassmann
- Coordenadas
- Cambio de base
- Ecuaciones de los subespacios
- Bases de la suma e intersección de subespacios
- Espacio vectorial cociente
- Cambio de base en orbitales atómicos
- Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
- Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
- Realificación de un espacio vectorial complejo
- Subespacios transversales
- Wronskiano
- Un espacio vectorial no usual
- Cardinal de un espacio vectorial finito
- Sistema libre de infinitas funciones troceadas
- Concepto de aplicación lineal
- Núcleo e imagen de una aplicación lineal
- Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
- Matriz de una aplicación lineal
- Expresión matricial de una aplicación lineal
- Núcleo e imagen del operador derivación
- Clasificación de aplicaciones lineales
- El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
- Composición de aplicaciones lineales
- Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
- Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
- Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
- Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
- Espacio dual, base dual
- Cambio de base en el espacio dual
- Subespacio conjugado o anulador
- Aplicación transpuesta
- Matrices de aplicaciones lineales
- Un endomorfismo nilpotente
- Hiperplanos
- Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
- Sucesiones exactas
- Endomorfismo en un subespacio de C(R)
- Un operador traspuesto en el espacio dual
- Interpolación en el espacio dual
- Clasificación de una familia de endomorfismos
- Dos aplicaciones lineales
- Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
- Espacio vectorial de las matrices circulantes
- Aplicación lineal $T(X)=AX-XA^{-1}$
- Matriz del cuadrado de un endomorfismo
- Anuladores de núcleo e imagen y aplicación transpuesta
- Concepto de valor y vector propio
- Primeras propiedades de los valores y vectores propios
- Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
- Endomorfismos diagonalizables
- Potencia enésima de una matriz por diagonalización
- Teorema de Cayley-Hamilton
- Diagonalización según parámetros
- Suma y producto de valores propios
- Valores propios del endomorfismo inverso
- Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
- Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
- Valores propios de una matriz nilpotente
- Logaritmo de una matriz
- Un determinante por recurrencia
- Diagonalización en un espacio complejo
- Límite de una sucesión matricial
- Modelo de poblaciones
- Endomorfismo con modelo matemático
- Endomorfismo idempotente
- Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
- Diagonalización de involuciones
- Valor propio y asíntota horizontal
- Coseno de una matriz
- Matrices componentes
- Secante de una matriz (vídeo)
- Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
- Valores propios y determinante de una matriz circulante
- Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo
- Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz
- Subespacios invariantes
- Bloque de Jordan
- Polinomio mínimo
- Forma canónica de Jordan
- Cálculo de una base de Jordan
- Potencia enésima por forma de Jordan
- Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
- Forma canónica del operador derivación
- Número e y exponencial de una matriz
- Formas de Jordan de rango 1
- Espacio de funciones y forma de Jordan
- Matrices con cuadrado nulo
- Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
- $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
- Forma de Jordan en $\mathbb{Z}_7$
- Concepto de forma bilineal
- Espacio vectorial de las formas bilineales
- Matriz de una forma bilineal
- Formas bilineales simétricas y antisimétricas
- Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
- Formas bilineales: cambio de base
- Diagonalización de formas bilineales simétricas
- Concepto de forma cuadrática
- Forma polar de una forma cuadrática
- Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
- Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
- Ley de inercia de Sylvester
- Clasificación de formas cuadráticas
- Forma cuadrática mediante una integral
- Mínimo de una función cuadrática
- Funciones convexas y formas cuadráticas
- Núcleo de una forma cuadrática
- Forma cuadrática multiplicativa
- Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
- Forma bilineal y sistema diferencial
- Cociente de Rayleigh
- Principio de Rayleigh (vìdeo)
- Forma bilineal a partir de una suma directa
- Diagonalización simultanea de formas cuadráticas
- Concepto de aplicación multilineal
- Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
- Problema de la aplicación universal
- Espacio vectorial producto
- Suma directa externa de espacios
- Producto tensorial
- Producto escalar real
- Espacio euclídeo, norma
- Desigualdad de Schwartz, ángulos
- Ángulo en un espacio de polinomios
- Ortogonalidad en el espacio euclídeo
- Bases ortonormales, método de Schmidt
- Subespacio ortogonal
- Proyección ortogonal
- Mínima distancia de un vector a un subespacio
- Matrices ortogonales
- Operador traspuesto
- Operador ortogonal
- Operador simétrico, teorema espectral
- Giros alrededor de una recta
- Matriz adjunta
- Matrices hermíticas
- Concepto de forma sesquilineal
- Expresión matricial de una forma sesquilineal
- Concepto de forma hermítica o hermitiana
- Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
- Expresión matricial del producto escalar complejo
- Matrices unitarias
- Descomposición en valores singulares
- Matrices normales
- Endomorfismo complejo con matriz normal
- Matrices de proyección y simetría
- Lema de Schur
- Simetría de Householder
- Gram-Schmidt con integral impropia
- Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
- Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
- Un endomorfismo antisimétrico
- Un endomorfismo simétrico
- Automorfismo en un espacio euclídeo
- Endomorfismo, forma cuadrática y cono
- Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
- Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
- $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
- Una matriz normal
- Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
- Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
- Polinomios de Legendre y operador simétrico
- Un operador autoadjunto y unitario
- Operador de Sturm-Liouville
- Isometrías en $\mathbb{R}^n$
- Desigualdad de Hadamard
- Cuerpo de los números complejos
- Operaciones con números complejos
- Raíz cuadrada de un número complejo
- Forma trigonométrica de los números complejos
- Números complejos: problemas diversos (1)
- Números complejos: problemas diversos (2)
- Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
- Vértices de un triángulo equilátero
- Isometrías en el plano
- Concepto de isometría en el plano
- Determinación de las isometrías del plano
- Grupo de las isometrías del plano
- Clasificación de las isometrías del plano
- Expresión matricial de las isometrías del plano
- Ejercicios de isometrías en el plano
- División euclídea de polinomios
- Factorización de polinomios
- Fórmulas de Cardano-Vieta
- Raíces en progresión
- Raíces múltiples de polinomios
- Raíz cuádruple según parámetros
- Polinomio de interpolación de Lagrange
- Ecuación de tercer grado
- Ecuación $x^3-x+2=0$ en los complejos
- Ecuación de cuarto grado
- Polinomios en una variable: problemas diversos
- Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
- Seno de $72^{\text{o}}$
- Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
- Cotas de las raíces de un polinomio
- Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
- Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
- Lema de Gauss
- Criterio de Eisenstein
- Polinomio de Motzkin
- Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
- Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
- Polinomio que genera primos
- Clasificación de cónicas
- Rectas que componen las cónicas degeneradas
- Ecuaciones reducidas de las cónicas
- Centro y ejes de las cónicas
- Giros y traslaciones en las cónicas
- Familia uniparamétrica de cónicas
- Circunferencia, cónica y forma cuadrática
- Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
- Elipse como lugar geométrico
- Dibujo de una conica mediante el teorema espectral
- Superficies regladas
- Superficies de revolución
- Superficie de revolución y cónica
- Superficies de traslación
- Una cuádrica como lugar geométrico
- Cuádrica, giro y traslación
- Una curva plana
- Superficies: problemas diversos
- Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
- Método del simplex
- Máximo de una integral por el método del simplex.
- Método del simplex. Aplicación
- Método del simplex: aprovechamiento de un monte
Conjuntos
Relaciones
Funciones
Grupos
Anillos y cuerpos
Sistemas lineales
Matrices
Determinantes
Espacios vectoriales
Aplicaciones lineales
Valores y vectores propios
Formas canónicas de Jordan
Formas bilineales y cuadráticas
Concepto de producto tensorial
Producto escalar
Álgebra de los números complejos
Polinomios
Cónicas
Superficies
Programación lineal
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