Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Límite de una sucesión de conjuntos
  18. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  19. Relaciones
  20. Concepto de relación binaria
  21. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  22. Partición de un conjunto
  23. Concepto de relación de orden
  24. Máximo, mínimo, cotas
  25. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  26. Orden total, buen orden
  27. Diagramas de Hasse
  28. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  29. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  30. Finura de las relaciones de orden
  31. Orden lexicográfico
  32. Funciones
  33. Concepto de función
  34. Composición de funciones
  35. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  36. Aplicación identidad, aplicación inversa
  37. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  38. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  39. Aplicación involutiva
  40. Factorización canónica de la función seno
  41. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  42. Cardinales infinitos no regulares
  43. Grupos
  44. Concepto de grupo
  45. Primeras propiedades de los grupos
  46. Subgrupos
  47. Tabla de Cayley
  48. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  49. Subgrupos normales
  50. Subgrupo normal y centro
  51. Grupo cociente
  52. Grupo de clases residuales
  53. Homomorfismos de grupos
  54. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  55. Clasificación de homomorfismos de grupos
  56. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  57. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  58. Tres igualdades en un grupo.
  59. Grupo no cíclico
  60. Grupo de funciones matriciales
  61. Conjunto, grupo y aplicación
  62. Relación y operaciones en el plano
  63. Grupo de aplicaciones afines.
  64. Centro de un grupo de matrices
  65. Grupo construido por biyección
  66. Conmutador y subgrupo derivado
  67. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  68. Grupo de Klein y sus automorfismos
  69. Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
  70. Todo grupo de orden primo es cíclico
  71. Grupos de orden 4
  72. Grupos de orden 6
  73. Grupo en $(-1,1)$
  74. Estructura de grupo en todo conjunto no vacío
  75. Anillos y cuerpos
  76. Concepto de anillo
  77. Anillo de sucesiones
  78. Producto directo de anillos
  79. Anillos: notaciones y propiedades
  80. Grupo multiplicativo de las unidades
  81. Anillo de los enteros de Gauss
  82. Anillo de clases residuales
  83. Anillos de integridad
  84. Subanillos
  85. Homomorfismos de anillos
  86. Ideales de un anillo
  87. Ideal de las sucesiones nulas
  88. Ideal bilátero f (I).
  89. Anillo cociente
  90. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  91. Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
  92. Concepto de cuerpo
  93. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  94. Característica de un cuerpo
  95. Homomorfismos entre cuerpos
  96. Anillo según parámetro
  97. Anillo y grupo de matrices
  98. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  99. Dominio de integridad no euclídeo
  100. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  101. Binomio de Newton en un anillo
  102. Anillo de las funciones reales
  103. Anillo idempotente
  104. Intersección de subcuerpos
  105. Cuerpo infinito con característica finita
  106. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  107. Cuaternios de Hamilton
  108. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  109. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  110. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  111. Semianillo tropical
  112. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  113. Caracterización de anillos noetherianos
  114. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  115. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  116. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  117. Cardinal de un cuerpo finito
  118. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  119. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  120. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  121. Caracterizaciones de cuerpos
  122. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  123. Cuerpo primo
  124. Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
  125. Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
  126. Ideales biláteros en el anillo de matrices
  127. Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
  128. Teorema de Wedderburn
  129. Sistemas lineales
  130. Sistemas lineales escalonados
  131. Reducción gaussiana
  132. Sistemas lineales según parámetros
  133. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  134. Matrices
  135. Concepto de matriz, suma de matrices
  136. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  137. Producto de un escalar por una matriz
  138. Multiplicación de matrices
  139. Inversa de una matriz
  140. Inversa de orden n por el método de Gauss
  141. Inversa de orden n por sistema de columnas
  142. Ecuaciones y sistemas matriciales
  143. Transposición de matrices
  144. Descomposición $A=uv^t$
  145. Matriz nilpotente e inversa
  146. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  147. Traza de una matriz, propiedades
  148. Matrices mágicas
  149. Matriz de Markov
  150. Inversa generalizada
  151. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  152. Determinantes
  153. Determinantes sencillos
  154. Determinantes por triangularización
  155. Determinantes por inducción
  156. Determinante de Vandermonde
  157. Regla de Cramer
  158. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  159. Determinante y sucesión de Fibonacci
  160. Determinante con números combinatorios
  161. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  162. Determinante e inversa de orden n
  163. Determinante de $I + v w$
  164. Determinante por inducción y sistema lineal
  165. Derivada de un determinante
  166. Igualdad de matrices a partir de una de determinantes
  167. Espacios vectoriales
  168. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  169. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  170. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  171. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  172. Espacio vectorial de las funciones reales
  173. Subcuerpo como espacio vectorial
  174. Subespacios vectoriales, caracterización
  175. Suma e intersección de subespacios
  176. Suma directa de subespacios
  177. Combinación lineal de vectores
  178. Dependencia e independencia lineal de vectores
  179. Base de un espacio vectorial
  180. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  181. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  182. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  183. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  184. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  185. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  186. Acotación del rango del producto de dos matrices
  187. Teorema de la base incompleta
  188. Existencia de base en todo espacio vectorial
  189. Dimensión de un espacio vectorial
  190. Teorema de la torre
  191. Propiedades de la dimensión
  192. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  193. Teorema de Grassmann
  194. Coordenadas
  195. Cambio de base
  196. Ecuaciones de los subespacios
  197. Bases de la suma e intersección de subespacios
  198. Espacio vectorial cociente
  199. Cambio de base en orbitales atómicos
  200. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  201. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  202. Realificación de un espacio vectorial complejo
  203. Subespacios transversales
  204. Wronskiano
  205. Un espacio vectorial no usual
  206. Cardinal de un espacio vectorial finito
  207. Aplicaciones lineales
  208. Concepto de aplicación lineal
  209. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  210. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  211. Matriz de una aplicación lineal
  212. Expresión matricial de una aplicación lineal
  213. Núcleo e imagen del operador derivación
  214. Clasificación de aplicaciones lineales
  215. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  216. Composición de aplicaciones lineales
  217. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  218. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  219. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  220. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  221. Espacio dual, base dual
  222. Cambio de base en el espacio dual
  223. Subespacio conjugado o anulador
  224. Aplicación transpuesta
  225. Matrices de aplicaciones lineales
  226. Un endomorfismo nilpotente
  227. Hiperplanos
  228. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  229. Sucesiones exactas
  230. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  231. Un operador traspuesto en el espacio dual
  232. Interpolación en el espacio dual
  233. Clasificación de una familia de endomorfismos
  234. Dos aplicaciones lineales
  235. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  236. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  237. Aplicación lineal $T(X)=AX-XA^{-1}$
  238. Valores y vectores propios
  239. Concepto de valor y vector propio
  240. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  241. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  242. Endomorfismos diagonalizables
  243. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  244. Teorema de Cayley-Hamilton
  245. Diagonalización según parámetros
  246. Suma y producto de valores propios
  247. Valores propios del endomorfismo inverso
  248. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  249. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  250. Valores propios de una matriz nilpotente
  251. Logaritmo de una matriz
  252. Un determinante por recurrencia
  253. Diagonalización en un espacio complejo
  254. Límite de una sucesión matricial
  255. Modelo de poblaciones
  256. Endomorfismo con modelo matemático
  257. Endomorfismo idempotente
  258. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  259. Diagonalización de involuciones
  260. Valor propio y asíntota horizontal
  261. Coseno de una matriz
  262. Matrices componentes
  263. Secante de una matriz (vídeo)
  264. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  265. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  266. Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo
  267. Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz
  268. Formas canónicas de Jordan
  269. Subespacios invariantes
  270. Bloque de Jordan
  271. Polinomio mínimo
  272. Forma canónica de Jordan
  273. Cálculo de una base de Jordan
  274. Potencia enésima por forma de Jordan
  275. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  276. Forma canónica del operador derivación
  277. Número e y exponencial de una matriz
  278. Formas de Jordan de rango 1
  279. Espacio de funciones y forma de Jordan
  280. Matrices con cuadrado nulo
  281. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  282. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  283. Forma de Jordan en $\mathbb{Z}_7$
  284. Formas bilineales y cuadráticas
  285. Concepto de forma bilineal
  286. Espacio vectorial de las formas bilineales
  287. Matriz de una forma bilineal
  288. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  289. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  290. Formas bilineales: cambio de base
  291. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  292. Concepto de forma cuadrática
  293. Forma polar de una forma cuadrática
  294. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  295. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  296. Ley de inercia de Sylvester
  297. Clasificación de formas cuadráticas
  298. Forma cuadrática mediante una integral
  299. Mínimo de una función cuadrática
  300. Funciones convexas y formas cuadráticas
  301. Núcleo de una forma cuadrática
  302. Forma cuadrática multiplicativa
  303. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  304. Forma bilineal y sistema diferencial
  305. Cociente de Rayleigh
  306. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  307. Forma bilineal a partir de una suma directa
  308. Diagonalización simultanea de formas cuadráticas
  309. Concepto de producto tensorial
  310. Concepto de aplicación multilineal
  311. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
  312. Problema de la aplicación universal
  313. Espacio vectorial producto
  314. Suma directa externa de espacios
  315. Producto tensorial
  316. Producto escalar
  317. Producto escalar real
  318. Espacio euclídeo, norma
  319. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  320. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  321. Bases ortonormales, método de Schmidt
  322. Subespacio ortogonal
  323. Proyección ortogonal
  324. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  325. Matrices ortogonales
  326. Operador traspuesto
  327. Operador ortogonal
  328. Operador simétrico, teorema espectral
  329. Giros alrededor de una recta
  330. Matriz adjunta
  331. Matrices hermíticas
  332. Concepto de forma sesquilineal
  333. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  334. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  335. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  336. Expresión matricial del producto escalar complejo
  337. Matrices unitarias
  338. Descomposición en valores singulares
  339. Matrices normales
  340. Matrices de proyección y simetría
  341. Lema de Schur
  342. Simetría de Householder
  343. Gram-Schmidt con integral impropia
  344. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  345. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  346. Un endomorfismo antisimétrico
  347. Un endomorfismo simétrico
  348. Automorfismo en un espacio euclídeo
  349. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  350. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  351. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  352. $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
  353. Una matriz normal
  354. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  355. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  356. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  357. Un operador autoadjunto y unitario
  358. Operador de Sturm-Liouville
  359. Isometrías en $\mathbb{R}^n$
  360. Desigualdad de Hadamard
  361. Álgebra de los números complejos
  362. Cuerpo de los números complejos
  363. Operaciones con números complejos
  364. Raíz cuadrada de un número complejo
  365. Forma trigonométrica de los números complejos
  366. Números complejos: problemas diversos (1)
  367. Números complejos: problemas diversos (2)
  368. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  369. Isometrías en el plano
  370. Polinomios
  371. División euclídea de polinomios
  372. Factorización de polinomios
  373. Fórmulas de Cardano-Vieta
  374. Raíces en progresión
  375. Raíces múltiples de polinomios
  376. Raíz cuádruple según parámetros
  377. Polinomio de interpolación de Lagrange
  378. Ecuación de tercer grado
  379. Ecuación de cuarto grado
  380. Polinomios en una variable: problemas diversos
  381. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  382. Seno de $72^{\text{o}}$
  383. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  384. Cotas de las raíces de un polinomio
  385. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  386. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  387. Lema de Gauss
  388. Criterio de Eisenstein
  389. Polinomio de Motzkin
  390. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  391. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  392. Polinomio que genera primos
  393. Cónicas
  394. Clasificación de cónicas
  395. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  396. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  397. Centro y ejes de las cónicas
  398. Giros y traslaciones en las cónicas
  399. Familia uniparamétrica de cónicas
  400. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  401. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  402. Superficies
  403. Superficies regladas
  404. Superficies de revolución
  405. Superficie de revolución y cónica
  406. Superficies de traslación
  407. Una cuádrica como lugar geométrico
  408. Cuádrica, giro y traslación
  409. Una curva plana
  410. Superficies: problemas diversos
  411. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  412. Programación lineal
  413. Método del simplex
  414. Máximo de una integral por el método del simplex.
  415. Método del simplex. Aplicación
  416. Método del simplex: aprovechamiento de un monte