Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Límite de una sucesión de conjuntos
  18. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  19. Mínima $\sigma-$álgebra que contiene a otra y a un conjunto
  20. Relaciones
  21. Concepto de relación binaria
  22. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  23. Partición de un conjunto
  24. Concepto de relación de orden
  25. Máximo, mínimo, cotas
  26. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  27. Orden total, buen orden
  28. Diagramas de Hasse
  29. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  30. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  31. Finura de las relaciones de orden
  32. Orden lexicográfico
  33. Teorema de la buena ordenación de Zermelo
  34. Funciones
  35. Concepto de función
  36. Composición de funciones
  37. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  38. Aplicación identidad, aplicación inversa
  39. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  40. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  41. Aplicación involutiva
  42. Factorización canónica de una aplicación
  43. Factorización canónica de la función seno
  44. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  45. Cardinales infinitos no regulares
  46. Grupos
  47. Concepto de grupo
  48. Primeras propiedades de los grupos
  49. Subgrupos
  50. Tabla de Cayley
  51. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  52. Subgrupos normales
  53. Subgrupo normal y centro
  54. Grupo cociente
  55. Grupo de clases residuales
  56. Homomorfismos de grupos
  57. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  58. Clasificación de homomorfismos de grupos
  59. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  60. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  61. Tres igualdades en un grupo.
  62. Grupo no cíclico
  63. Grupo de funciones matriciales
  64. Conjunto, grupo y aplicación
  65. Relación y operaciones en el plano
  66. Grupo de aplicaciones afines.
  67. Centro de un grupo de matrices
  68. Grupo construido por biyección
  69. Conmutador y subgrupo derivado
  70. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  71. Grupo de Klein y sus automorfismos
  72. Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
  73. Todo grupo de orden primo es cíclico
  74. Grupos de orden 4
  75. Grupos de orden 6
  76. Grupo en $(-1,1)$
  77. Estructura de grupo en todo conjunto no vacío
  78. Producto directo externo de grupos
  79. Anillos y cuerpos
  80. Concepto de anillo
  81. Anillo de sucesiones
  82. Producto directo de anillos
  83. Anillos: notaciones y propiedades
  84. Grupo multiplicativo de las unidades
  85. Anillo de los enteros de Gauss
  86. Anillo de clases residuales
  87. Anillos de integridad
  88. Subanillos
  89. Homomorfismos de anillos
  90. Ideales de un anillo
  91. Ideal de las sucesiones nulas
  92. Ideal bilátero f (I).
  93. Anillo cociente
  94. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  95. Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
  96. Concepto de cuerpo
  97. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  98. Característica de un cuerpo
  99. Homomorfismos entre cuerpos
  100. Anillo según parámetro
  101. Anillo y grupo de matrices
  102. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  103. Dominio de integridad no euclídeo
  104. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  105. Binomio de Newton en un anillo
  106. Anillo de las funciones reales
  107. Anillo idempotente
  108. Intersección de subcuerpos
  109. Cuerpo infinito con característica finita
  110. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  111. Cuaternios de Hamilton
  112. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  113. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  114. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  115. Semianillo tropical
  116. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  117. Caracterización de anillos noetherianos
  118. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  119. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  120. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  121. Cardinal de un cuerpo finito
  122. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  123. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  124. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  125. Caracterizaciones de cuerpos
  126. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  127. Cuerpo primo
  128. Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
  129. Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
  130. Ideales biláteros en el anillo de matrices
  131. Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
  132. Teorema de Wedderburn
  133. Existencia de ideales maximales
  134. Cuerpo de fracciones de un dominio de integridad
  135. Conmutatividad de la suma en los anillos
  136. Sistemas lineales
  137. Sistemas lineales escalonados
  138. Reducción gaussiana
  139. Sistemas lineales según parámetros
  140. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  141. Matrices
  142. Concepto de matriz, suma de matrices
  143. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  144. Producto de un escalar por una matriz
  145. Multiplicación de matrices
  146. Inversa de una matriz
  147. Inversa de orden n por el método de Gauss
  148. Inversa de orden n por sistema de columnas
  149. Ecuaciones y sistemas matriciales
  150. Transposición de matrices
  151. Descomposición $A=uv^t$
  152. Matriz nilpotente e inversa
  153. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  154. Traza de una matriz, propiedades
  155. Matrices mágicas
  156. Matriz de Markov
  157. Inversa generalizada
  158. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  159. Determinantes
  160. Determinantes sencillos
  161. Determinantes por triangularización
  162. Determinantes por inducción
  163. Determinante de Vandermonde
  164. Regla de Cramer
  165. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  166. Determinante y sucesión de Fibonacci
  167. Determinante con números combinatorios
  168. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  169. Determinante e inversa de orden n
  170. Determinante de $I + v w$
  171. Determinante por inducción y sistema lineal
  172. Derivada de un determinante
  173. Igualdad de matrices a partir de una de determinantes
  174. Espacios vectoriales
  175. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  176. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  177. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  178. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  179. Espacio vectorial de las funciones reales
  180. Subcuerpo como espacio vectorial
  181. Subespacios vectoriales, caracterización
  182. Suma e intersección de subespacios
  183. Suma directa de subespacios
  184. Combinación lineal de vectores
  185. Dependencia e independencia lineal de vectores
  186. Base de un espacio vectorial
  187. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  188. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  189. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  190. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  191. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  192. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  193. Acotación del rango del producto de dos matrices
  194. Teorema de la base incompleta
  195. Existencia de base en todo espacio vectorial
  196. Dimensión de un espacio vectorial
  197. Teorema de la torre
  198. Propiedades de la dimensión
  199. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  200. Teorema de Grassmann
  201. Coordenadas
  202. Cambio de base
  203. Ecuaciones de los subespacios
  204. Bases de la suma e intersección de subespacios
  205. Espacio vectorial cociente
  206. Cambio de base en orbitales atómicos
  207. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  208. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  209. Realificación de un espacio vectorial complejo
  210. Subespacios transversales
  211. Wronskiano
  212. Un espacio vectorial no usual
  213. Cardinal de un espacio vectorial finito
  214. Sistema libre de infinitas funciones troceadas
  215. Aplicaciones lineales
  216. Concepto de aplicación lineal
  217. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  218. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  219. Matriz de una aplicación lineal
  220. Expresión matricial de una aplicación lineal
  221. Núcleo e imagen del operador derivación
  222. Clasificación de aplicaciones lineales
  223. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  224. Composición de aplicaciones lineales
  225. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  226. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  227. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  228. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  229. Espacio dual, base dual
  230. Cambio de base en el espacio dual
  231. Subespacio conjugado o anulador
  232. Aplicación transpuesta
  233. Matrices de aplicaciones lineales
  234. Un endomorfismo nilpotente
  235. Hiperplanos
  236. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  237. Sucesiones exactas
  238. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  239. Un operador traspuesto en el espacio dual
  240. Interpolación en el espacio dual
  241. Clasificación de una familia de endomorfismos
  242. Dos aplicaciones lineales
  243. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  244. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  245. Aplicación lineal $T(X)=AX-XA^{-1}$
  246. Matriz del cuadrado de un endomorfismo
  247. Anuladores de núcleo e imagen y aplicación transpuesta
  248. Valores y vectores propios
  249. Concepto de valor y vector propio
  250. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  251. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  252. Endomorfismos diagonalizables
  253. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  254. Teorema de Cayley-Hamilton
  255. Diagonalización según parámetros
  256. Suma y producto de valores propios
  257. Valores propios del endomorfismo inverso
  258. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  259. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  260. Valores propios de una matriz nilpotente
  261. Logaritmo de una matriz
  262. Un determinante por recurrencia
  263. Diagonalización en un espacio complejo
  264. Límite de una sucesión matricial
  265. Modelo de poblaciones
  266. Endomorfismo con modelo matemático
  267. Endomorfismo idempotente
  268. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  269. Diagonalización de involuciones
  270. Valor propio y asíntota horizontal
  271. Coseno de una matriz
  272. Matrices componentes
  273. Secante de una matriz (vídeo)
  274. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  275. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  276. Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo
  277. Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz
  278. Formas canónicas de Jordan
  279. Subespacios invariantes
  280. Bloque de Jordan
  281. Polinomio mínimo
  282. Forma canónica de Jordan
  283. Cálculo de una base de Jordan
  284. Potencia enésima por forma de Jordan
  285. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  286. Forma canónica del operador derivación
  287. Número e y exponencial de una matriz
  288. Formas de Jordan de rango 1
  289. Espacio de funciones y forma de Jordan
  290. Matrices con cuadrado nulo
  291. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  292. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  293. Forma de Jordan en $\mathbb{Z}_7$
  294. Formas bilineales y cuadráticas
  295. Concepto de forma bilineal
  296. Espacio vectorial de las formas bilineales
  297. Matriz de una forma bilineal
  298. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  299. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  300. Formas bilineales: cambio de base
  301. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  302. Concepto de forma cuadrática
  303. Forma polar de una forma cuadrática
  304. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  305. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  306. Ley de inercia de Sylvester
  307. Clasificación de formas cuadráticas
  308. Forma cuadrática mediante una integral
  309. Mínimo de una función cuadrática
  310. Funciones convexas y formas cuadráticas
  311. Núcleo de una forma cuadrática
  312. Forma cuadrática multiplicativa
  313. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  314. Forma bilineal y sistema diferencial
  315. Cociente de Rayleigh
  316. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  317. Forma bilineal a partir de una suma directa
  318. Diagonalización simultanea de formas cuadráticas
  319. Concepto de producto tensorial
  320. Concepto de aplicación multilineal
  321. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
  322. Problema de la aplicación universal
  323. Espacio vectorial producto
  324. Suma directa externa de espacios
  325. Producto tensorial
  326. Producto escalar
  327. Producto escalar real
  328. Espacio euclídeo, norma
  329. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  330. Ángulo en un espacio de polinomios
  331. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  332. Bases ortonormales, método de Schmidt
  333. Subespacio ortogonal
  334. Proyección ortogonal
  335. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  336. Matrices ortogonales
  337. Operador traspuesto
  338. Operador ortogonal
  339. Operador simétrico, teorema espectral
  340. Giros alrededor de una recta
  341. Matriz adjunta
  342. Matrices hermíticas
  343. Concepto de forma sesquilineal
  344. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  345. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  346. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  347. Expresión matricial del producto escalar complejo
  348. Matrices unitarias
  349. Descomposición en valores singulares
  350. Matrices normales
  351. Matrices de proyección y simetría
  352. Lema de Schur
  353. Simetría de Householder
  354. Gram-Schmidt con integral impropia
  355. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  356. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  357. Un endomorfismo antisimétrico
  358. Un endomorfismo simétrico
  359. Automorfismo en un espacio euclídeo
  360. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  361. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  362. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  363. $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
  364. Una matriz normal
  365. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  366. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  367. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  368. Un operador autoadjunto y unitario
  369. Operador de Sturm-Liouville
  370. Isometrías en $\mathbb{R}^n$
  371. Desigualdad de Hadamard
  372. Álgebra de los números complejos
  373. Cuerpo de los números complejos
  374. Operaciones con números complejos
  375. Raíz cuadrada de un número complejo
  376. Forma trigonométrica de los números complejos
  377. Números complejos: problemas diversos (1)
  378. Números complejos: problemas diversos (2)
  379. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  380. Isometrías en el plano
  381. Concepto de isometría en el plano
  382. Determinación de las isometrías del plano
  383. Grupo de las isometrías del plano
  384. Clasificación de las isometrías del plano
  385. Expresión matricial de las isometrías del plano
  386. Ejercicios de isometrías en el plano
  387. Polinomios
  388. División euclídea de polinomios
  389. Factorización de polinomios
  390. Fórmulas de Cardano-Vieta
  391. Raíces en progresión
  392. Raíces múltiples de polinomios
  393. Raíz cuádruple según parámetros
  394. Polinomio de interpolación de Lagrange
  395. Ecuación de tercer grado
  396. Ecuación de cuarto grado
  397. Polinomios en una variable: problemas diversos
  398. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  399. Seno de $72^{\text{o}}$
  400. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  401. Cotas de las raíces de un polinomio
  402. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  403. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  404. Lema de Gauss
  405. Criterio de Eisenstein
  406. Polinomio de Motzkin
  407. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  408. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  409. Polinomio que genera primos
  410. Cónicas
  411. Clasificación de cónicas
  412. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  413. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  414. Centro y ejes de las cónicas
  415. Giros y traslaciones en las cónicas
  416. Familia uniparamétrica de cónicas
  417. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  418. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  419. Elipse como lugar geométrico
  420. Superficies
  421. Superficies regladas
  422. Superficies de revolución
  423. Superficie de revolución y cónica
  424. Superficies de traslación
  425. Una cuádrica como lugar geométrico
  426. Cuádrica, giro y traslación
  427. Una curva plana
  428. Superficies: problemas diversos
  429. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  430. Programación lineal
  431. Método del simplex
  432. Máximo de una integral por el método del simplex.
  433. Método del simplex. Aplicación
  434. Método del simplex: aprovechamiento de un monte