Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Límite de una sucesión de conjuntos
  18. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  19. Mínima $\sigma-$álgebra que contiene a otra y a un conjunto
  20. Relaciones
  21. Concepto de relación binaria
  22. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  23. Partición de un conjunto
  24. Concepto de relación de orden
  25. Máximo, mínimo, cotas
  26. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  27. Orden total, buen orden
  28. Diagramas de Hasse
  29. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  30. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  31. Finura de las relaciones de orden
  32. Orden lexicográfico
  33. Teorema de la buena ordenación de Zermelo
  34. Funciones
  35. Concepto de función
  36. Composición de funciones
  37. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  38. Aplicación identidad, aplicación inversa
  39. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  40. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  41. Aplicación involutiva
  42. Factorización canónica de la función seno
  43. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  44. Cardinales infinitos no regulares
  45. Grupos
  46. Concepto de grupo
  47. Primeras propiedades de los grupos
  48. Subgrupos
  49. Tabla de Cayley
  50. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  51. Subgrupos normales
  52. Subgrupo normal y centro
  53. Grupo cociente
  54. Grupo de clases residuales
  55. Homomorfismos de grupos
  56. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  57. Clasificación de homomorfismos de grupos
  58. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  59. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  60. Tres igualdades en un grupo.
  61. Grupo no cíclico
  62. Grupo de funciones matriciales
  63. Conjunto, grupo y aplicación
  64. Relación y operaciones en el plano
  65. Grupo de aplicaciones afines.
  66. Centro de un grupo de matrices
  67. Grupo construido por biyección
  68. Conmutador y subgrupo derivado
  69. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  70. Grupo de Klein y sus automorfismos
  71. Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
  72. Todo grupo de orden primo es cíclico
  73. Grupos de orden 4
  74. Grupos de orden 6
  75. Grupo en $(-1,1)$
  76. Estructura de grupo en todo conjunto no vacío
  77. Anillos y cuerpos
  78. Concepto de anillo
  79. Anillo de sucesiones
  80. Producto directo de anillos
  81. Anillos: notaciones y propiedades
  82. Grupo multiplicativo de las unidades
  83. Anillo de los enteros de Gauss
  84. Anillo de clases residuales
  85. Anillos de integridad
  86. Subanillos
  87. Homomorfismos de anillos
  88. Ideales de un anillo
  89. Ideal de las sucesiones nulas
  90. Ideal bilátero f (I).
  91. Anillo cociente
  92. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  93. Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
  94. Concepto de cuerpo
  95. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  96. Característica de un cuerpo
  97. Homomorfismos entre cuerpos
  98. Anillo según parámetro
  99. Anillo y grupo de matrices
  100. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  101. Dominio de integridad no euclídeo
  102. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  103. Binomio de Newton en un anillo
  104. Anillo de las funciones reales
  105. Anillo idempotente
  106. Intersección de subcuerpos
  107. Cuerpo infinito con característica finita
  108. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  109. Cuaternios de Hamilton
  110. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  111. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  112. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  113. Semianillo tropical
  114. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  115. Caracterización de anillos noetherianos
  116. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  117. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  118. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  119. Cardinal de un cuerpo finito
  120. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  121. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  122. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  123. Caracterizaciones de cuerpos
  124. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  125. Cuerpo primo
  126. Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
  127. Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
  128. Ideales biláteros en el anillo de matrices
  129. Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
  130. Teorema de Wedderburn
  131. Sistemas lineales
  132. Sistemas lineales escalonados
  133. Reducción gaussiana
  134. Sistemas lineales según parámetros
  135. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  136. Matrices
  137. Concepto de matriz, suma de matrices
  138. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  139. Producto de un escalar por una matriz
  140. Multiplicación de matrices
  141. Inversa de una matriz
  142. Inversa de orden n por el método de Gauss
  143. Inversa de orden n por sistema de columnas
  144. Ecuaciones y sistemas matriciales
  145. Transposición de matrices
  146. Descomposición $A=uv^t$
  147. Matriz nilpotente e inversa
  148. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  149. Traza de una matriz, propiedades
  150. Matrices mágicas
  151. Matriz de Markov
  152. Inversa generalizada
  153. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  154. Determinantes
  155. Determinantes sencillos
  156. Determinantes por triangularización
  157. Determinantes por inducción
  158. Determinante de Vandermonde
  159. Regla de Cramer
  160. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  161. Determinante y sucesión de Fibonacci
  162. Determinante con números combinatorios
  163. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  164. Determinante e inversa de orden n
  165. Determinante de $I + v w$
  166. Determinante por inducción y sistema lineal
  167. Derivada de un determinante
  168. Igualdad de matrices a partir de una de determinantes
  169. Espacios vectoriales
  170. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  171. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  172. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  173. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  174. Espacio vectorial de las funciones reales
  175. Subcuerpo como espacio vectorial
  176. Subespacios vectoriales, caracterización
  177. Suma e intersección de subespacios
  178. Suma directa de subespacios
  179. Combinación lineal de vectores
  180. Dependencia e independencia lineal de vectores
  181. Base de un espacio vectorial
  182. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  183. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  184. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  185. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  186. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  187. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  188. Acotación del rango del producto de dos matrices
  189. Teorema de la base incompleta
  190. Existencia de base en todo espacio vectorial
  191. Dimensión de un espacio vectorial
  192. Teorema de la torre
  193. Propiedades de la dimensión
  194. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  195. Teorema de Grassmann
  196. Coordenadas
  197. Cambio de base
  198. Ecuaciones de los subespacios
  199. Bases de la suma e intersección de subespacios
  200. Espacio vectorial cociente
  201. Cambio de base en orbitales atómicos
  202. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  203. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  204. Realificación de un espacio vectorial complejo
  205. Subespacios transversales
  206. Wronskiano
  207. Un espacio vectorial no usual
  208. Cardinal de un espacio vectorial finito
  209. Aplicaciones lineales
  210. Concepto de aplicación lineal
  211. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  212. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  213. Matriz de una aplicación lineal
  214. Expresión matricial de una aplicación lineal
  215. Núcleo e imagen del operador derivación
  216. Clasificación de aplicaciones lineales
  217. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  218. Composición de aplicaciones lineales
  219. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  220. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  221. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  222. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  223. Espacio dual, base dual
  224. Cambio de base en el espacio dual
  225. Subespacio conjugado o anulador
  226. Aplicación transpuesta
  227. Matrices de aplicaciones lineales
  228. Un endomorfismo nilpotente
  229. Hiperplanos
  230. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  231. Sucesiones exactas
  232. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  233. Un operador traspuesto en el espacio dual
  234. Interpolación en el espacio dual
  235. Clasificación de una familia de endomorfismos
  236. Dos aplicaciones lineales
  237. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  238. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  239. Aplicación lineal $T(X)=AX-XA^{-1}$
  240. Matriz del cuadrado de un endomorfismo
  241. Valores y vectores propios
  242. Concepto de valor y vector propio
  243. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  244. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  245. Endomorfismos diagonalizables
  246. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  247. Teorema de Cayley-Hamilton
  248. Diagonalización según parámetros
  249. Suma y producto de valores propios
  250. Valores propios del endomorfismo inverso
  251. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  252. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  253. Valores propios de una matriz nilpotente
  254. Logaritmo de una matriz
  255. Un determinante por recurrencia
  256. Diagonalización en un espacio complejo
  257. Límite de una sucesión matricial
  258. Modelo de poblaciones
  259. Endomorfismo con modelo matemático
  260. Endomorfismo idempotente
  261. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  262. Diagonalización de involuciones
  263. Valor propio y asíntota horizontal
  264. Coseno de una matriz
  265. Matrices componentes
  266. Secante de una matriz (vídeo)
  267. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  268. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  269. Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo
  270. Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz
  271. Formas canónicas de Jordan
  272. Subespacios invariantes
  273. Bloque de Jordan
  274. Polinomio mínimo
  275. Forma canónica de Jordan
  276. Cálculo de una base de Jordan
  277. Potencia enésima por forma de Jordan
  278. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  279. Forma canónica del operador derivación
  280. Número e y exponencial de una matriz
  281. Formas de Jordan de rango 1
  282. Espacio de funciones y forma de Jordan
  283. Matrices con cuadrado nulo
  284. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  285. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  286. Forma de Jordan en $\mathbb{Z}_7$
  287. Formas bilineales y cuadráticas
  288. Concepto de forma bilineal
  289. Espacio vectorial de las formas bilineales
  290. Matriz de una forma bilineal
  291. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  292. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  293. Formas bilineales: cambio de base
  294. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  295. Concepto de forma cuadrática
  296. Forma polar de una forma cuadrática
  297. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  298. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  299. Ley de inercia de Sylvester
  300. Clasificación de formas cuadráticas
  301. Forma cuadrática mediante una integral
  302. Mínimo de una función cuadrática
  303. Funciones convexas y formas cuadráticas
  304. Núcleo de una forma cuadrática
  305. Forma cuadrática multiplicativa
  306. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  307. Forma bilineal y sistema diferencial
  308. Cociente de Rayleigh
  309. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  310. Forma bilineal a partir de una suma directa
  311. Diagonalización simultanea de formas cuadráticas
  312. Concepto de producto tensorial
  313. Concepto de aplicación multilineal
  314. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
  315. Problema de la aplicación universal
  316. Espacio vectorial producto
  317. Suma directa externa de espacios
  318. Producto tensorial
  319. Producto escalar
  320. Producto escalar real
  321. Espacio euclídeo, norma
  322. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  323. Ángulo en un espacio de polinomios
  324. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  325. Bases ortonormales, método de Schmidt
  326. Subespacio ortogonal
  327. Proyección ortogonal
  328. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  329. Matrices ortogonales
  330. Operador traspuesto
  331. Operador ortogonal
  332. Operador simétrico, teorema espectral
  333. Giros alrededor de una recta
  334. Matriz adjunta
  335. Matrices hermíticas
  336. Concepto de forma sesquilineal
  337. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  338. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  339. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  340. Expresión matricial del producto escalar complejo
  341. Matrices unitarias
  342. Descomposición en valores singulares
  343. Matrices normales
  344. Matrices de proyección y simetría
  345. Lema de Schur
  346. Simetría de Householder
  347. Gram-Schmidt con integral impropia
  348. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  349. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  350. Un endomorfismo antisimétrico
  351. Un endomorfismo simétrico
  352. Automorfismo en un espacio euclídeo
  353. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  354. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  355. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  356. $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
  357. Una matriz normal
  358. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  359. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  360. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  361. Un operador autoadjunto y unitario
  362. Operador de Sturm-Liouville
  363. Isometrías en $\mathbb{R}^n$
  364. Desigualdad de Hadamard
  365. Álgebra de los números complejos
  366. Cuerpo de los números complejos
  367. Operaciones con números complejos
  368. Raíz cuadrada de un número complejo
  369. Forma trigonométrica de los números complejos
  370. Números complejos: problemas diversos (1)
  371. Números complejos: problemas diversos (2)
  372. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  373. Isometrías en el plano
  374. Concepto de isometría en el plano
  375. Determinación de las isometrías del plano
  376. Grupo de las isometrías del plano
  377. Clasificación de las isometrías del plano
  378. Expresión matricial de las isometrías del plano
  379. Ejercicios de isometrías en el plano
  380. Polinomios
  381. División euclídea de polinomios
  382. Factorización de polinomios
  383. Fórmulas de Cardano-Vieta
  384. Raíces en progresión
  385. Raíces múltiples de polinomios
  386. Raíz cuádruple según parámetros
  387. Polinomio de interpolación de Lagrange
  388. Ecuación de tercer grado
  389. Ecuación de cuarto grado
  390. Polinomios en una variable: problemas diversos
  391. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  392. Seno de $72^{\text{o}}$
  393. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  394. Cotas de las raíces de un polinomio
  395. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  396. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  397. Lema de Gauss
  398. Criterio de Eisenstein
  399. Polinomio de Motzkin
  400. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  401. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  402. Polinomio que genera primos
  403. Cónicas
  404. Clasificación de cónicas
  405. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  406. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  407. Centro y ejes de las cónicas
  408. Giros y traslaciones en las cónicas
  409. Familia uniparamétrica de cónicas
  410. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  411. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  412. Elipse como lugar geométrico
  413. Superficies
  414. Superficies regladas
  415. Superficies de revolución
  416. Superficie de revolución y cónica
  417. Superficies de traslación
  418. Una cuádrica como lugar geométrico
  419. Cuádrica, giro y traslación
  420. Una curva plana
  421. Superficies: problemas diversos
  422. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  423. Programación lineal
  424. Método del simplex
  425. Máximo de una integral por el método del simplex.
  426. Método del simplex. Aplicación
  427. Método del simplex: aprovechamiento de un monte