Álgebra

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Álgebra. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Conjuntos
  1. Concepto de conjunto
  2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío
  3. Unión e intersección de conjuntos
  4. Propiedades de la unión e intersección
  5. Cardinal de la unión de tres conjuntos
  6. Partes de un conjunto, complementario y diferencia
  7. Relaciones de inclusión y pertenencia
  8. Propiedades del complementario
  9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
  10. Diagramas de Venn
  11. Producto cartesiano
  12. Unión e intersección generalizadas
  13. Función característica
  14. Diferencia simétrica: propiedad asociativa
  15. Partes de uniones e intersecciones
  16. Cardinales de las sigma-álgebras contables
  17. Límite de una sucesión de conjuntos
  18. Cardinal de la unión de $n$ conjuntos
  19. Relaciones
  20. Concepto de relación binaria
  21. Relación de equivalencia, conjunto cociente
  22. Partición de un conjunto
  23. Concepto de relación de orden
  24. Máximo, mínimo, cotas
  25. Supremo, ínfimo, maximales y minimales
  26. Orden total, buen orden
  27. Diagramas de Hasse
  28. Relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$
  29. Tres relaciones en $\mathbb{N}$
  30. Finura de las relaciones de orden
  31. Orden lexicográfico
  32. Teorema de la buena ordenación de Zermelo
  33. Funciones
  34. Concepto de función
  35. Composición de funciones
  36. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
  37. Aplicación identidad, aplicación inversa
  38. Imágenes directas e inversas de conjuntos
  39. Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
  40. Aplicación involutiva
  41. Factorización canónica de la función seno
  42. Estudio de la biyectividad de $f(X)=(A\cap X,B\cap X)$
  43. Cardinales infinitos no regulares
  44. Grupos
  45. Concepto de grupo
  46. Primeras propiedades de los grupos
  47. Subgrupos
  48. Tabla de Cayley
  49. Generadores de un grupo, grupo cíclico
  50. Subgrupos normales
  51. Subgrupo normal y centro
  52. Grupo cociente
  53. Grupo de clases residuales
  54. Homomorfismos de grupos
  55. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
  56. Clasificación de homomorfismos de grupos
  57. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos
  58. Grupo de las partes con la diferencia simétrica
  59. Tres igualdades en un grupo.
  60. Grupo no cíclico
  61. Grupo de funciones matriciales
  62. Conjunto, grupo y aplicación
  63. Relación y operaciones en el plano
  64. Grupo de aplicaciones afines.
  65. Centro de un grupo de matrices
  66. Grupo construido por biyección
  67. Conmutador y subgrupo derivado
  68. Todo grupo de orden 4 es abeliano
  69. Grupo de Klein y sus automorfismos
  70. Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos
  71. Todo grupo de orden primo es cíclico
  72. Grupos de orden 4
  73. Grupos de orden 6
  74. Grupo en $(-1,1)$
  75. Estructura de grupo en todo conjunto no vacío
  76. Anillos y cuerpos
  77. Concepto de anillo
  78. Anillo de sucesiones
  79. Producto directo de anillos
  80. Anillos: notaciones y propiedades
  81. Grupo multiplicativo de las unidades
  82. Anillo de los enteros de Gauss
  83. Anillo de clases residuales
  84. Anillos de integridad
  85. Subanillos
  86. Homomorfismos de anillos
  87. Ideales de un anillo
  88. Ideal de las sucesiones nulas
  89. Ideal bilátero f (I).
  90. Anillo cociente
  91. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos
  92. Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
  93. Concepto de cuerpo
  94. Cuerpos $\mathbb{Z}_p$
  95. Característica de un cuerpo
  96. Homomorfismos entre cuerpos
  97. Anillo según parámetro
  98. Anillo y grupo de matrices
  99. Máximo común divisor en los enteros de Gauss
  100. Dominio de integridad no euclídeo
  101. Una unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[X] / I$
  102. Binomio de Newton en un anillo
  103. Anillo de las funciones reales
  104. Anillo idempotente
  105. Intersección de subcuerpos
  106. Cuerpo infinito con característica finita
  107. Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$
  108. Cuaternios de Hamilton
  109. Cuerpo con 25 elementos (vídeo)
  110. Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
  111. Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
  112. Semianillo tropical
  113. Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
  114. Caracterización de anillos noetherianos
  115. El anillo de las funciones continuas no es noetheriano
  116. Ideal generado por un subconjunto de un anillo
  117. $R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales
  118. Cardinal de un cuerpo finito
  119. Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
  120. Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
  121. $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$
  122. Caracterizaciones de cuerpos
  123. Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $
  124. Cuerpo primo
  125. Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
  126. Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
  127. Ideales biláteros en el anillo de matrices
  128. Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
  129. Teorema de Wedderburn
  130. Sistemas lineales
  131. Sistemas lineales escalonados
  132. Reducción gaussiana
  133. Sistemas lineales según parámetros
  134. Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos
  135. Matrices
  136. Concepto de matriz, suma de matrices
  137. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo
  138. Producto de un escalar por una matriz
  139. Multiplicación de matrices
  140. Inversa de una matriz
  141. Inversa de orden n por el método de Gauss
  142. Inversa de orden n por sistema de columnas
  143. Ecuaciones y sistemas matriciales
  144. Transposición de matrices
  145. Descomposición $A=uv^t$
  146. Matriz nilpotente e inversa
  147. Potencia enésima de matrices por binomio de Newton
  148. Traza de una matriz, propiedades
  149. Matrices mágicas
  150. Matriz de Markov
  151. Inversa generalizada
  152. Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros
  153. Determinantes
  154. Determinantes sencillos
  155. Determinantes por triangularización
  156. Determinantes por inducción
  157. Determinante de Vandermonde
  158. Regla de Cramer
  159. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria
  160. Determinante y sucesión de Fibonacci
  161. Determinante con números combinatorios
  162. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros
  163. Determinante e inversa de orden n
  164. Determinante de $I + v w$
  165. Determinante por inducción y sistema lineal
  166. Derivada de un determinante
  167. Igualdad de matrices a partir de una de determinantes
  168. Espacios vectoriales
  169. Primeras propiedades de los espacios vectoriales
  170. Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$
  171. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo
  172. Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$
  173. Espacio vectorial de las funciones reales
  174. Subcuerpo como espacio vectorial
  175. Subespacios vectoriales, caracterización
  176. Suma e intersección de subespacios
  177. Suma directa de subespacios
  178. Combinación lineal de vectores
  179. Dependencia e independencia lineal de vectores
  180. Base de un espacio vectorial
  181. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base
  182. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base
  183. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base
  184. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base
  185. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base
  186. Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb {K}^n$
  187. Acotación del rango del producto de dos matrices
  188. Teorema de la base incompleta
  189. Existencia de base en todo espacio vectorial
  190. Dimensión de un espacio vectorial
  191. Teorema de la torre
  192. Propiedades de la dimensión
  193. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales
  194. Teorema de Grassmann
  195. Coordenadas
  196. Cambio de base
  197. Ecuaciones de los subespacios
  198. Bases de la suma e intersección de subespacios
  199. Espacio vectorial cociente
  200. Cambio de base en orbitales atómicos
  201. Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$
  202. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto
  203. Realificación de un espacio vectorial complejo
  204. Subespacios transversales
  205. Wronskiano
  206. Un espacio vectorial no usual
  207. Cardinal de un espacio vectorial finito
  208. Aplicaciones lineales
  209. Concepto de aplicación lineal
  210. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
  211. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales
  212. Matriz de una aplicación lineal
  213. Expresión matricial de una aplicación lineal
  214. Núcleo e imagen del operador derivación
  215. Clasificación de aplicaciones lineales
  216. El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
  217. Composición de aplicaciones lineales
  218. Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía
  219. Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes
  220. Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes
  221. Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
  222. Espacio dual, base dual
  223. Cambio de base en el espacio dual
  224. Subespacio conjugado o anulador
  225. Aplicación transpuesta
  226. Matrices de aplicaciones lineales
  227. Un endomorfismo nilpotente
  228. Hiperplanos
  229. Endomorfismo y suma $S_4=1^4+…+n^4.$
  230. Sucesiones exactas
  231. Endomorfismo en un subespacio de C(R)
  232. Un operador traspuesto en el espacio dual
  233. Interpolación en el espacio dual
  234. Clasificación de una familia de endomorfismos
  235. Dos aplicaciones lineales
  236. Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$
  237. Espacio vectorial de las matrices circulantes
  238. Aplicación lineal $T(X)=AX-XA^{-1}$
  239. Valores y vectores propios
  240. Concepto de valor y vector propio
  241. Primeras propiedades de los valores y vectores propios
  242. Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico
  243. Endomorfismos diagonalizables
  244. Potencia enésima de una matriz por diagonalización
  245. Teorema de Cayley-Hamilton
  246. Diagonalización según parámetros
  247. Suma y producto de valores propios
  248. Valores propios del endomorfismo inverso
  249. Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$
  250. Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$
  251. Valores propios de una matriz nilpotente
  252. Logaritmo de una matriz
  253. Un determinante por recurrencia
  254. Diagonalización en un espacio complejo
  255. Límite de una sucesión matricial
  256. Modelo de poblaciones
  257. Endomorfismo con modelo matemático
  258. Endomorfismo idempotente
  259. Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}.$
  260. Diagonalización de involuciones
  261. Valor propio y asíntota horizontal
  262. Coseno de una matriz
  263. Matrices componentes
  264. Secante de una matriz (vídeo)
  265. Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos
  266. Valores propios y determinante de una matriz circulante
  267. Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo
  268. Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz
  269. Formas canónicas de Jordan
  270. Subespacios invariantes
  271. Bloque de Jordan
  272. Polinomio mínimo
  273. Forma canónica de Jordan
  274. Cálculo de una base de Jordan
  275. Potencia enésima por forma de Jordan
  276. Formas de Jordan de $AB$ y $BA$
  277. Forma canónica del operador derivación
  278. Número e y exponencial de una matriz
  279. Formas de Jordan de rango 1
  280. Espacio de funciones y forma de Jordan
  281. Matrices con cuadrado nulo
  282. Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas
  283. $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales
  284. Forma de Jordan en $\mathbb{Z}_7$
  285. Formas bilineales y cuadráticas
  286. Concepto de forma bilineal
  287. Espacio vectorial de las formas bilineales
  288. Matriz de una forma bilineal
  289. Formas bilineales simétricas y antisimétricas
  290. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas
  291. Formas bilineales: cambio de base
  292. Diagonalización de formas bilineales simétricas
  293. Concepto de forma cuadrática
  294. Forma polar de una forma cuadrática
  295. Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales
  296. Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss
  297. Ley de inercia de Sylvester
  298. Clasificación de formas cuadráticas
  299. Forma cuadrática mediante una integral
  300. Mínimo de una función cuadrática
  301. Funciones convexas y formas cuadráticas
  302. Núcleo de una forma cuadrática
  303. Forma cuadrática multiplicativa
  304. Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices
  305. Forma bilineal y sistema diferencial
  306. Cociente de Rayleigh
  307. Principio de Rayleigh (vìdeo)
  308. Forma bilineal a partir de una suma directa
  309. Diagonalización simultanea de formas cuadráticas
  310. Concepto de producto tensorial
  311. Concepto de aplicación multilineal
  312. Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales
  313. Problema de la aplicación universal
  314. Espacio vectorial producto
  315. Suma directa externa de espacios
  316. Producto tensorial
  317. Producto escalar
  318. Producto escalar real
  319. Espacio euclídeo, norma
  320. Desigualdad de Schwartz, ángulos
  321. Ángulo en un espacio de polinomios
  322. Ortogonalidad en el espacio euclídeo
  323. Bases ortonormales, método de Schmidt
  324. Subespacio ortogonal
  325. Proyección ortogonal
  326. Mínima distancia de un vector a un subespacio
  327. Matrices ortogonales
  328. Operador traspuesto
  329. Operador ortogonal
  330. Operador simétrico, teorema espectral
  331. Giros alrededor de una recta
  332. Matriz adjunta
  333. Matrices hermíticas
  334. Concepto de forma sesquilineal
  335. Expresión matricial de una forma sesquilineal
  336. Concepto de forma hermítica o hermitiana
  337. Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario
  338. Expresión matricial del producto escalar complejo
  339. Matrices unitarias
  340. Descomposición en valores singulares
  341. Matrices normales
  342. Matrices de proyección y simetría
  343. Lema de Schur
  344. Simetría de Householder
  345. Gram-Schmidt con integral impropia
  346. Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$
  347. Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
  348. Un endomorfismo antisimétrico
  349. Un endomorfismo simétrico
  350. Automorfismo en un espacio euclídeo
  351. Endomorfismo, forma cuadrática y cono
  352. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales
  353. Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden
  354. $Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
  355. Una matriz normal
  356. Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica
  357. Mínimo de $L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz
  358. Polinomios de Legendre y operador simétrico
  359. Un operador autoadjunto y unitario
  360. Operador de Sturm-Liouville
  361. Isometrías en $\mathbb{R}^n$
  362. Desigualdad de Hadamard
  363. Álgebra de los números complejos
  364. Cuerpo de los números complejos
  365. Operaciones con números complejos
  366. Raíz cuadrada de un número complejo
  367. Forma trigonométrica de los números complejos
  368. Números complejos: problemas diversos (1)
  369. Números complejos: problemas diversos (2)
  370. Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles
  371. Isometrías en el plano
  372. Concepto de isometría en el plano
  373. Determinación de las isometrías del plano
  374. Grupo de las isometrías del plano
  375. Clasificación de las isometrías del plano
  376. Expresión matricial de las isometrías del plano
  377. Ejercicios de isometrías en el plano
  378. Polinomios
  379. División euclídea de polinomios
  380. Factorización de polinomios
  381. Fórmulas de Cardano-Vieta
  382. Raíces en progresión
  383. Raíces múltiples de polinomios
  384. Raíz cuádruple según parámetros
  385. Polinomio de interpolación de Lagrange
  386. Ecuación de tercer grado
  387. Ecuación de cuarto grado
  388. Polinomios en una variable: problemas diversos
  389. Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces
  390. Seno de $72^{\text{o}}$
  391. Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$
  392. Cotas de las raíces de un polinomio
  393. Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$
  394. Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
  395. Lema de Gauss
  396. Criterio de Eisenstein
  397. Polinomio de Motzkin
  398. Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$
  399. Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
  400. Polinomio que genera primos
  401. Cónicas
  402. Clasificación de cónicas
  403. Rectas que componen las cónicas degeneradas
  404. Ecuaciones reducidas de las cónicas
  405. Centro y ejes de las cónicas
  406. Giros y traslaciones en las cónicas
  407. Familia uniparamétrica de cónicas
  408. Circunferencia, cónica y forma cuadrática
  409. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea
  410. Superficies
  411. Superficies regladas
  412. Superficies de revolución
  413. Superficie de revolución y cónica
  414. Superficies de traslación
  415. Una cuádrica como lugar geométrico
  416. Cuádrica, giro y traslación
  417. Una curva plana
  418. Superficies: problemas diversos
  419. Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja
  420. Programación lineal
  421. Método del simplex
  422. Máximo de una integral por el método del simplex.
  423. Método del simplex. Aplicación
  424. Método del simplex: aprovechamiento de un monte