Superposición de soluciones

Enunciado
Resolver la ecuación diferencial

$x^{\prime\prime}+x=\sin ^2t,$

con las condiciones iniciales $x(0)=0,\; x'(0)=1.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución

La ecuación característica asociada es $\lambda^2+1=0$ cuyas soluciones son $\pm i.$ Una base del espacio de las soluciones de la ecuación homogénea es por tanto $B=\{\cos t,\sin t\},$ en consecuencia su solución general es $x_h(t)=C_1\cos t+C_2\sin t.$ Descompongamos $\sin^2 t=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2t$ y apliquemos a la ecuación dada el principio de superposición de las soluciones: si $x_1(t),x_2(t)$ son respectivamente soluciones particulares de

$x^{\prime\prime}+x=\displaystyle\frac{1}{2},\qquad (1)\qquad x^{\prime\prime}+x=-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2t.\quad (2)$

entonces, $x_1(t)+x_2(t)$ es una solución particular de

$x^{\prime\prime}+x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 2t.\qquad (3)$

De acuerdo con el método de selección, una solución particular de $(1)$ es de la forma $x_1(t)=a$ con $a$ constante, que sustituida en $(1)$ proporciona $x_1(t)=1/2.$ Una solución particular de $(2)$ es de la forma $x_2(t)=a\cos 2t+b\sin 2t$ con $a,b$ constantes. Sustituyendo en $(2)$ obtenemos

$-4a\cos 2t-4b\sin 2t+a\cos 2t+b\sin 2t=-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2t.$

Como las funciones $\cos 2t.\sin 2t$ son linealmente independientes, la igualdad anterior implica $-3a=-1/2$ y $-3b=0,$ es decir $x_2(t)=\frac{1}{6}\cos 2t.$ La solución general de la ecuación dada (es decir, la $(3)$) es por tanto

$x(t)=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{6}\cos 2t+C_1\cos t+C_2\sin t.$

Imponiendo las condiciones $x(0)=0, x'(0)=1$ fácilmente obtenemos $C_1=-1/3$ y $C_2=1.$ Concluimos que la función pedida es

$x(t)=\displaystyle\frac{1}{6}(3-\cos 2t-2\cos t+6\sin t).$