Subsucesiones

Proporcionamos un ejercicio sobre subsucesiones.

Enunciado
1. Demostrar que si una sucesión $\{x_n\}$ converge hacia $x,$ entonces toda subsucesión de $\{x_n\}$ converge hacia $x.$
2. Usando subsucesiones, demostrar que la sucesión $\{(-1)^n\}$ no es convergente.

Solución
Recordemos que si $\{x_n\}$ es una sucesión, y $\{n_{k}\}$ una sucesión de enteros positivos tal que $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$, a la sucesión $\{x_{n_k}\}$ se la llama subsucesión de $\{x_n\},$ o sucesión contenida en $\{x_n\}.$ Si $\{x_{n_k}\}$ converge, su límite se llama límite subsequencial de $\{x_n\}.$
1. Dado $\epsilon>0$ existe $n_0$ número natural tal que $\left|x_n-x\right|<\epsilon.$ Elijamos $n_K$ tal que $n_K\geq n_0.$ Entonces, para todo $n_k\geq n_K$ se verifica $n_k\geq n_0,$ y por tanto $\left|x_{n_k}-x\right|<\epsilon,$ lo cual implica que $\{x_{n_k}\}\to x.$
2. Elijamos las subsucesiones de $\{(-1)^n\}:$ $$\{x_{2n-1}\}=\{(-1)^{2n-1}\}=\{-1\},\quad \{x_{2n}\}=\{(-1)^{2n}\}=\{1\}.$$ Entonces, $\{x_{2n-1}\}\to -1$ y $\{x_{2n}\}\to 1.$ No todas las subsucesiones de $\{(-1)^n\}$ tienen el mismo límite, por tanto no es convergente.