Diagonalización de involuciones

Proporcionamos un problema sobre diagonalización de involuciones.

Enunciado
Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $n$ y $F:V\to V$ una aplicación lineal. Se dice que $F$ es una involución cuando la aplicación compuesta $F\circ F$ es la aplicación identidad de $V$ en $V.$

1. Sean $F$ y $G$ las aplicaciones lineales de $\mathbb{R}^3$ en $\mathbb{R}^3$ representadas en la base canónica por las matrices:

$A=\begin{bmatrix}{-4}&{-20}&{0}\\{\;\;1}&{\;\;5}&{0}\\{-2}&{-8}&{1}\end{bmatrix}\;,\;B=\begin{bmatrix}{-9}&{-40}&{0}\\{\;\;2}&{\;\;9}&{0}\\{-4}&{-16}&{1}\end{bmatrix}\;.$

Estudiar si $F$ y $G$ son involuciones en $\mathbb{R}^3.$

2. Sea $F$ una involución en $V.$ Se definen $V_+$ y $V_-$ mediante

$V_+=\{x\in V:F(x)=x\}\;,\;V_-=\{x\in V:F(x)=-x\}.$

Demostrar que $V_+$ y $V_-$ son subespacios de $V.$

3. Sea $F$ una involución en $V.$ Demostrar que $V$ es suma directa de $V_+$ y $V_-.$

4. Sea $F$ una involución en $V.$ Demostrar que $F$ es diagonalizable. Escribir la matriz diagonal de $F.$

5. Sean $F$ y $G$ dos involuciones en $V.$ Estudiar si la función compuesta $F\circ G$ es una involución. En caso afirmativo dar una demostración y en caso contrario construir un contraejemplo y dar una condición necesaria y suficiente que han de cumplir $F$ y $G$ para que $F\circ G$ sea una involución.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes de la UPM).

Solución
1. Por un conocido teorema, las matrices de $F\circ F$ y $G\circ G$ en la base canónica son $A^2$ y $B^2$ respectivamente. Operando obtenemos $A^2\neq I$ y $B^2=I$ es decir, $F$ no es involución y $G,$ sí.

2. Como $F$ es lineal, $F(0)=0$ y por tanto $0\in F.$ Sean $x,y\in V_+,$ entonces $F(x+y)=F(x)+F(y)=x+y$ es decir, $x+y\in F.$ Sean $\lambda\in\mathbb{R}$ y $x\in V_+,$ entonces $F(\lambda x)=\lambda F(x)=\lambda x$ es decir, $\lambda x\in F.$ Concluimos que $V_+$ es subespacio de $V.$ De manera análoga se demuestra que $V_-$ es subespacio de $V.$

3. Sea $x\in V_+\cap V_-,$ entonces $F(x)=x$ y $F(x)=-x.$ Restando estas dos últimas igualdades obtenemos $2x=0$ lo cual implica que $x=0.$ Hemos demostrado que $ V_+\cap V_-=\{0\}.$ Sea ahora $x\in V.$ Si $x$ se puede expresar en la forma $x=u+v$ con $u\in V_+$ y $v\in V_-$ entonces, aplicando $F$ en la última igualdad tendríamos las relaciones

$\left \{ \begin{matrix}  x=u+v\\F(x)=F(u)+F(v)=u-v.\end{matrix}\right.$

De las relaciones anteriores deducimos que necesariamente $u=(1/2)(x+F(x))$ y $v=(1/2)(x-F(x)).$ Se satisface evidentemente que

$x=\displaystyle\frac{1}{2}\left(x+F(x)\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\left(x-F(x)\right).$

Además

$$F\left(\displaystyle\frac{1}{2}(x+F(x)\right)=\displaystyle\frac{1}{2}(F(x)+F^2(x))=\displaystyle\frac{1}{2}(F(x)+x)\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\left(x+F(x)\right)\in V_+ $$ $$F\left(\displaystyle\frac{1}{2}(x-F(x)\right)=\displaystyle\frac{1}{2}(F(x)-F^2(x))=-\displaystyle\frac{1}{2}(x-F(x))\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\left(x-F(x)\right)\in V_-$$

Es decir, $V=V_++V_-.$ Concluimos que $V=V_+\oplus V_-.$

4. Dado que $V=V_+\oplus V_-,$ la unión de una base de $V_+$ con una de $V_-$ es una base de $V.$ Sea $B_+=\{u_1,\ldots,u_r\}$ base de $V_+$ y $B_-=\{u_{r+1},\ldots,u_n\}$ base de $V_.$ Entonces

$\left \{ \begin{matrix} F(u_1)=u_1\\\ldots\\F(u_r)=u_r\\F(u_{r+1})=-u_{r+1}\\\ldots\\F(u_n)=-u_n.\end{matrix}\right.$

Por tanto, la base $B_V=\{u_1,\ldots,u_r ,\;u_{r+1}\ldots,u_n\}$ de $V$ diagonaliza a $F$ siendo su matriz diagonal en tal base $D=\textrm{diag}\;(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1).$ Eventualmente pudiera ocurrir $D=I$ si $\dim V_+=0$ o $D=-I$ si $\dim V_-=0.$

5. Sean $F$ y $G$ involuciones en $V.$ Si ocurriera $F\circ G=G\circ F$ tendríamos

$(F\circ G)^2=F\circ G\circ F\circ G=F\circ F\circ G\circ G=i\circ i=i $

Dado que la composición de aplicaciones no es conmutativa, sospechamos que $F\circ G$ no será en general involución. Efectivamente, elijamos las aplicaciones lineales $F$ y $G$ de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ cuyas matrices en la base canónica son respectivamente

$A=\begin{bmatrix}{2}&{-3}\\{1}&{-2}\end{bmatrix}\;,\; B=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}\;.$

Fácilmente verificamos que $A^2=I,\;B^2=I$ y $(AB)^2\neq I$ es decir, $F$ y $G$ son involuciones pero no así $F\circ G.$ Veamos en general que si $F$ y $G$ son involuciones en $V$ se verifica:

$F\circ G$ es involución $\Leftrightarrow F\circ G=G\circ F .$

$\Leftarrow{})$ Esta implicación ya está demostrada.

$\Rightarrow{})$ Dado que $F$ y $G$ son involuciones se verifica $F^2=i,\;G^2=i.$ Si $F\circ G$ es involución entonces $F\circ G\circ F\circ G=i $ y componiendo a la izquierda con $F$ y a la derecha con $G$ obtenemos $G\circ F=F\circ G.$