Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales

Demostramos el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales.

Enunciado
Demostrar el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales:
Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ con $\dim E$ finita y sea $f:E\to F$ aplicación lineal. Entonces, $\dim E=\dim (\ker f)+\dim (\operatorname{Im}f).$

Solución
Sea $\dim E=n$ y $B_{\ker f}=\{u_1,\ldots,u_p\}$ una base de $\ker f.$ Por el teorema de la ampliación de la base, existen vectores $u_{p+1},\ldots,u_n$ tales que $$B_E=\{u_1,\ldots,u_p,u_{p+1},\ldots,u_n\}$$ es una base de $E.$ Si demostramos que $B=\{f(u_{p+1}),\ldots,f(u_n)\}$ es una base de $\operatorname{Im}f$ el teorema estará demostrado pues $$n=p+(n-p)\Rightarrow \dim E=\dim (\ker f)+\dim (\operatorname{Im}f).$$

$B$ es sistema libre. En efecto: $$\lambda_{p+1}f(u_{p+1})+\cdots+\lambda_nf(u_n)=0\Rightarrow f(\lambda_{p+1}u_{p+1}+\cdots+\lambda_nu_n)=0$$ $$\Rightarrow \lambda_{p+1}u_{p+1}+\cdots+\lambda_nu_n\in \ker f\Rightarrow \exists \lambda_1,\ldots \lambda_p\text{ escalares}:$$ $$\lambda_{p+1}u_{p+1}+\cdots+\lambda_nu_n=\lambda_{1}u_{1}+\cdots+\lambda_pu_p$$ $$\Rightarrow (-\lambda_{1})u_{1}+\cdots+(-\lambda_p)u_p+\lambda_{p+1}u_{p+1}+\cdots+\lambda_nu_n=0$$ Dado que $B_E$ es base de $E,$ se deduce que todos los escalares $\lambda_i$ $(i=1,\ldots,n)$ son nulos, en particular desde $\lambda_{p+1}$ hasta $\lambda_n.$

$B$ es sistema generador de $\operatorname{Im}f.$ En efecto, si $y\in\operatorname{Im}f,$ existe $x\in E$ tal que $y=f(x).$ Como $B_E$ es base de $E,$ existen escalares $x_1,$ … $x_p,$ $x_{p+1},$ … $x_n$ tales que $x=x_1u_1+\cdots+x_pu_p+x_{p+1}u_{p+1}+\cdots+x_nu_n.$ Entonces, $$y=f(x)=f\left[(x_1u_1+\cdots+x_pu_p)+x_{p+1}u_{p+1}+\cdots+x_nu_n\right]$$ $$=f(x_1u_1+\cdots+x_pu_p)+x_{p+1}f(u_{p+1})+\cdots+x_nf(u_n).$$ Ahora bien, $f(x_1u_1+\cdots+x_pu_p)=0$ pues $x_1u_1+\cdots+x_pu_p\in\ker f,$ con lo cual $$y=x_{p+1}f(u_{p+1})+\cdots+x_nf(u_n).$$ Esto demuestra que $B$ es sistema generador de $\operatorname{Im}f.$

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