Endomorfismos diagonalizables

Proporcionamos ejercicios sobre endomorfismos diagonalizables.

TEORÍA

1 Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfismo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Estudiar si es diagonalizable.
$(b)$ En caso afirmativo, encontrar una base de $E$ formada por vectores propios de $f$ y una matriz inverible $P$ tal que $P^{-1}AP=D$ con $D$ matriz diagonal de valores propios.

SOLUCIÓN

2 Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfismo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{5}&{-1}\\{1}&{\;\;3}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Estudiar si es diagonalizable.
$(b)$ En caso afirmativo, encontrar una base de $E$ formada por vectores propios de $f$ y una matriz inverible $P$ tal que $P^{-1}AP=D$ con $D$ matriz diagonal de valores propios.

SOLUCIÓN

3 Sea $E$ un espacio vectorial y $f:E\to E$ el endomorfismo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{2}&{-1}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Demostrar que no es diagonalizable si el cuerpo de escalares es $\mathbb{R}$.
$(b)$ Demostrar que es diagonalizable si el cuerpo de escalares es $\mathbb{C}$, encontrar una base de $E$ formada por vectores propios de $f$ y una matriz invertible $P$ tal que $P^{-1}AP=D$ con $D$ matriz diagonal de valores propios.

SOLUCIÓN

4 Se considera la matriz: $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-3}&{3}\\{3}&{-5}&{3}\\{6}&{-6}&{4}\end{bmatrix}.$$ Demostrar que es diagonalizable en $\mathbb{R}$, encontrar una base de $\mathbb{R}^3$ formada por vectores propios de $A$ y una matriz invertible $P$ tal que $P^{-1}AP=D$ con $D$ matriz diagonal de valores propios.

SOLUCIÓN

5 Se considera la matriz: $A=\begin{bmatrix}{2}&{6}&{-15}\\{1}&{1}&{-5}\\{1}&{2}&{-6}\end{bmatrix}\;.$  Demostrar que no es diagonalizable en $\mathbb{R}$.

SOLUCIÓN

6 Se consideran las matrices reales:$$M=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{0}&{0}&0\\{\;\;2}&{1}&{0}&0\\{-1}&{3}&{2}&0\\\;\;0&0&4&2\end{bmatrix}\;,\quad N=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{0}&{0}&0\\{\;\;0}&{1}&{0}&0\\{-1}&{1}&{2}&0\\\;\;3&1&0&2\end{bmatrix}.$$Para cada una de ellas, estudiar si es diagonalizable. En caso afirmativo hallar una matriz diagonal semejante y la correspondiente matriz de paso.

SOLUCIÓN

7 Se considera la matriz:$$A=\begin{bmatrix}{3}&{-1}&{0}\\{6}&{-3}&{2}\\{8}&{-6}&{5}\end{bmatrix}.$$$(a)$ Demostrar que no es diagonalizable en $\mathbb{R}$.
$(b)$ Demostrar que es diagonalizable en $\mathbb{C}$ y hallar una matriz $P\in\mathbb{C}^{3\times 3}$ tal que $P^{-1}AP=\text{diag }(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ con $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ valores propios de $A$.

SOLUCIÓN
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