Fórmulas de Cardano-Vieta

Proporcionamos ejercicios sobre las fórmulas de Cardano-Vieta.

1  Demostrar las fórmulas de Cardano-Vieta:
Sea $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb{C}[x]$ $(a_n\neq 0)$ y sean $r_1,r_2,\ldots,r_n$ las raíces de $p(x)$ en donde cada una se escribe tantas veces como sea su multiplicidad.  Designemos por  $\sigma_1,$ $\sigma_2,$ $\ldots,$ $\sigma_n$ las llamadas funciones elementales de las raíces. Se verifica $$\displaystyle\begin{aligned}&\sigma_1=\sum_ir_i=r_1+r_2+\cdots +r_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\\
&\sigma_2=\sum_{i<j}r_ir_j=r_1r_2+r_1r_3+\cdots+r_{n-1}r_n=\frac{a_{n-2}}{a_n},
\\&\sigma_3=\sum_{i<j<k}r_ir_jr_k=r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+\cdots+r_{n-2}r_{n-1}r_n=-\frac{a_{n-3}}{a_n},\\&\ldots
\\&\sigma_n=r_1r_2\cdots r_n=\frac{(-1)^na_{n-1}}{a_n}.
\end{aligned}$$

SOLUCIÓN

2 Comprobar las fórmulas de Cardano-Vieta para el polinomio $$p(x)=x^3-4x^2+x+6.$$

SOLUCIÓN

3 Resolver la ecuación $17x^3+16x^2+33x-2=0$ sabiendo que tiene una raíz compleja de módulo $\sqrt{2}.$

SOLUCIÓN

4 Dada la ecuación $x^3-7x+k=0,$ calcular $k$ para que una solución sea el doble de otra. Resolver dicha ecuación.

SOLUCIÓN
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