Fórmulas de Cardano-Vieta

Proporcionamos ejercicios sobre las fórmulas de Cardano-Vieta.

    Enunciado
  1. Demostrar las fórmulas de Cardano-Vieta:
    Sea $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb{C}[x]$ $(a_n\neq 0)$ y sean $r_1,r_2,\ldots,r_n$ las raíces de $p(x)$ en donde cada una se escribe tantas veces como sea su multiplicidad. Designemos por $\sigma_1,$ $\sigma_2,$ $\ldots,$ $\sigma_n$ las llamadas funciones elementales de las raíces. Se verifica $$\displaystyle\begin{aligned}&\sigma_1=\sum_ir_i=r_1+r_2+\cdots +r_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\\
    &\sigma_2=\sum_{i<j}r_ir_j=r_1r_2+r_1r_3+\cdots+r_{n-1}r_n=\frac{a_{n-2}}{a_n},
    \\&\sigma_3=\sum_{i<j<k}r_ir_jr_k=r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+\cdots+r_{n-2}r_{n-1}r_n=-\frac{a_{n-3}}{a_n},\\&\ldots
    \\&\sigma_n=r_1r_2\cdots r_n=\frac{(-1)^na_{0}}{a_n}.
    \end{aligned}$$
  2. Comprobar las fórmulas de Cardano-Vieta para el polinomio $$p(x)=x^3-4x^2+x+6.$$
  3. Resolver la ecuación $17x^3+16x^2+33x-2=0$ sabiendo que tiene una raíz compleja de módulo $\sqrt{2}.$
  4. Dada la ecuación $x^3-7x+k=0,$ calcular $k$ para que una solución sea el doble de otra. Resolver dicha ecuación.
    Solución
  1. Usando el teorema de descomposición de polinomios podemos expresar $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_n).$$ Igualando los coeficientes de $x^{n-p},$ $$a_{n-p}=a_n\sum_{i_1<i_2<\ldots<i_p}(-1)^pr_{i_1}r_{i_2}\ldots r_{i_p}=(-1)^pa_n\sigma_p,$$ de donde resultan las fórmulas de Cardano-Vieta.
  2. Como $p(-1)=-1-4-1+6=0,$ $1$ es raíz de $p(x).$ Dividiendo $p(x)$ entre $x+1,$ obtenemos $$p(x)=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3).$$ Las raíces de $p(x)$ son por tanto $r_1=-1,$ $r_2=2$ y $r_3=3.$ Los coeficiente de $p(x)$ son $a_3=1,$ $a_2=-4,$ $a_1=1,$ $a_0=6.$ Entonces, $$\displaystyle\begin{aligned}&r_1+r_2+r_3=-1+2+3=4=-\frac{-4}{1}=-\frac{a_{2}}{a_3},\\
    &r_1r_2+r_1r_3+r_{2}r_3=(-1)\cdot 2+(-1)\cdot3+2\cdot 3=1=\frac{1}{1}=\frac{a_{1}}{a_3},
    \\&r_1r_2 r_3=(-1)\cdot 2\cdot 3=-6=-\frac{6}{1}=-\frac{a_{0}}{a_3}.
    \end{aligned}$$
  3. Las tres soluciones de la ecuación son de la forma $$x_1=a+bi,\;x_2=a-bi,\;x_3, \text{ con } a,b\in\mathbb{R},\;a^2+b^2=2.$$ Usando las fórmulas de Cardano-Vieta $$\displaystyle\begin{aligned}&x_1+x_2+x_3=2a+x_3=-\frac{16}{17},\\
    &x_1x_2+x_1x_3+x_{2}x_3=a^2+b^2+(a+bi)x_3+(a-bi)x_3=\frac{33}{17},
    \\&x_1x_2 x_3=(a^2+b^2)x_3=\frac{2}{17}.
    \end{aligned}$$ Obtenemos pues el sistema $$\left \{ \begin{matrix} 2a+x_3=-\frac{16}{17} \\2+2ax_3=\frac{33}{17}\\2x_3=\frac{2}{17},\end{matrix}\right.$$ que resuelto proporciona las solución $x_3=1/17,$ $a=-1/2.$ Por otra parte $b$ $=\sqrt{2-a^2}$ $=\pm \sqrt{7}/2.$ Las soluciones de la ecuación dada son por tanto $$-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{7}}{2}i,\;\frac{1}{17}.$$
  4. Las raíces de la ecuación son de la forma $x_1,$ $x_2=2x_1$ y $x_3.$ Aplicando las fórmulas de Cardano-Vieta, $$\left \{ \displaystyle\begin{aligned}&3x_1+x_3=0,\\
    &2x_1^2+3x_1x_3=-7,
    \\&2x_1^2 x_3=k.
    \end{aligned}\right.$$ Sustituyendo $x_3=-3x_1$ obtenemos $-7x_1^2=-7$ de lo cual $x_1=\pm 1,$ $x_2=\pm 2$ y $x_3=\mp3.$ Usando $k=2x_1^2 x_3$ queda $$\begin{aligned}&k=-6\Rightarrow x_1=1,\;x_2=2,\;x_3=-3,\\
    &k=6\Rightarrow x_1=-1,\;x_2=-2,\;x_3=3.
    \end{aligned}$$
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