Teorema de Cantor

Demostramos el teorema de Cantor.

Teorema (Cantor). Si $A$ es un conjunto, entonces el conjunto $\mathcal{P}(A)$ de las partes de $A$ tiene cardinalidad mayor que $A.$

Demostración. La aplicación $f:A\to \mathcal{P}(A)$ dada por $f(a)=\{a\}$ es inyectiva y por tanto, $|A| \preceq |\mathcal{P}(A)|.$ Demostremos que $A$ no es equivalente a $\mathcal{P}(A).$ En efecto, supongamos que exista una aplicación biyectiva $g:A\to \mathcal{P}(A)$ y consideremos el subconjunto $B$ de $A$ dado por $B=\{x\in A: x\notin g(x)\}.$ Al ser $g$ sobreyectiva, existe $b\in A$ tal que $g(b)=B.$ Si $b\in B$ entonces, $b\notin g(b)=B$ lo cual es absurdo. Si $b\notin B$ entonces, $b\in g(b)=B$ que también es una contradicción. Concluimos que $A$ no es equivalente a $\mathcal{P}(A)$ y por tanto $\left|A\right|\prec \left|\mathcal{P}(A)\right|.$

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