Ecuación de Verhulst

Resolvemos la ecuación de Verhulst.

1. Definición. A la ecuación diferencial $$\frac{dP}{dt}=rP\left(1 – \frac{P}{K}\right)$$ se la llama ecuación de Verhulst. $P$ es la variable depenciente (población), $t$ la independiente (tiempo), $r$ es el coeficiente de la razón de crecimiento de la población (parámetro) y $K$ la capacidad de carga del sistema (límites territoriales y de recursos que tienen las poblaciones para poder seguir creciendo).
2. Esta ecuación fue publicada por primera vez por el matemático belga Pierre François Verhulst en 1838 y modeliza crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades epidémicas, difusión en redes sociales, economía, etc.
3. Teorema. La solución de la ecuación de Verhulst con la condición inicial $P(0)=P_0$ es $$P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0 \left( e^{rt} – 1\right)}.$$Demostración. La ecuación se puede expresar en la forma $$\frac{dP}{rP\left(1 – \frac{P}{K}\right)}-dt=0\quad (\text{variables separadas)}.$$ Su solución general es $$\int \frac{dP}{rP\left(1 – \frac{P}{K}\right)}-t=C.$$ Efectuando la descomposición en fracciones simples, obtenemos $$\frac{1}{P\left(1 – \frac{P}{K}\right)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}.$$ Integrando, $$\frac{1}{r}\left(\log |P|-\log|K-P|\right)-t=C,$$ $$\log\left|\frac{P}{K-P}\right|=rt+rC,$$ $$\frac{P}{K-P}=e^{rt}C_1.\quad (1)$$ Si el estado inicial es $P(0)=P_0$ obtenemos $C_1=P_0/(K-P_0).$ Resolviendo la ecuación de primer grado $(1)$ obtenemos $$P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0 \left( e^{rt} – 1\right)}.\qquad \square$$
4. Definición. A la función $P(t)$ se la llama función logística.
5. Teorema. Cuando el tiempo aumenta indefinidamente, la población tiende a la capacidad de carga.
   Demostración. Efectivamente, $$\lim_{t\to +\infty}P(t)=\lim_{t\to +\infty}\frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0 \left( e^{rt} – 1\right)}=\lim_{t\to +\infty}\frac{K P_0 }{K/e^{rt} + P_0 \left( 1 – 1/e^{rt}\right)}$$ $$=\frac{KP_0}{0+P_0(1-0)}=\frac{KP_0}{P_0}=K.\qquad\square$$