Superficies de traslación

Proporcionamos ejercicios de cálculo de ecuaciones de las superficies de traslación.

Enunciado
1. Hallar la superficie de traslación de la dos siguientes parábolas $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & y^2=2px\\& z=0, \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & z^2=2qx\\& y=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$
2. Hallar la ecuación de la superficie de traslación obtenida al desplazarse la elipse $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\\& z=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ sobre la recta $\displaystyle x-2=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}.$
3. Determinar una superticie $S$ que satisfaga las condiciones:
   (a) La intersección de $S$ con $\begin{cases} x=1 \\y=a\\z=b\end{cases} \;(a,b\in\mathbb R)$ es $\begin{cases} x=1 \\y=t+3\\z=t^2+2\end{cases} \; (t\in \mathbb{R}).$
   (b) La intersección de $S$ con $\begin{cases} x=r \\y=s\\z=2\end{cases} \;(r,s\in\mathbb R)$ es $\begin{cases} x=t \\y=3\\2\end{cases} \;(t\in \mathbb{R}).$

Solución
Recordamos que si $C$ y $C^*$ son curvas del espacio de ecuaciones paramétricas $$C:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=x(t)\\& y=y(t)\\ & z=z(t), \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad C^*:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=x^*(u)\\& y=y^*(u)\\ & z=z^*(u) \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ que se cortan en el punto $P_0(x_0,y_0,z_0),$ entonces las ecuaciones paramétricas de la superficie $S$ obtenida al trasladarse una de ellas paralelamente a lo largo de la otra, son $$S:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=x(t)+x^*(u)-x_0\\& y=y(t)+y^*(u)-y_0\\ & z=z(t)+z^*(u)-z_0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$
1. En nuestro caso, tenemos las curvas $$C:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=\frac{t^2}{2p}\\& y=t\\ & z=0, \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad C^*:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=\frac{u^2}{2q}\\& y=0\\ & z=u \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ que se cortan en el punto $P_0(0,0,0).$ La superficie pedida es por tanto $$S:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=\frac{t^2}{2p}+\frac{u^2}{2q}\\& y=t\\ & z=u. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminando parámetros obtenemos $$S:\frac{y^2}{2p}+\frac{z^2}{2q}-x=0.$$
2. Las curvas dadas son $$C:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=2\cos t\\& y=3\operatorname{sen}t\\ & z=0, \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad C^*:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=2+u\\& y=2u\\ & z=3u \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ que se cortan en el punto $P_0(2,0,0).$ La superficie pedida es por tanto $$S:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=u+2\cos t\\& y=2u+3\operatorname{sen}t\\ & z=3u. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Eliminemos parámetros. De $\operatorname{sen}^2t+\cos^2t=1$ obtenemos $$S:\left(\frac{y-2z/3}{3}\right)^2+\left(\frac{x-z/3}{2}\right)^2=1.$$
3. La condición (a) equivale a decir que la intersección de $S$ con el plano $x=1$ es la parábola $$\mathcal P\equiv \begin{cases} x=1 \\y=t+3\\z=t^2+2\end{cases} \; (t\in \mathbb{R})$$ y la condición (b) equivale a decir que la intersección de $S$ con el plano $z=2$ es la recta $$r\equiv\begin{cases} x=u \\y=3\\z=2\end{cases} \; (u\in \mathbb{R}).$$ El punto $(1,3,2)$ pertenece a $\mathcal P$ y a $r$ (basta elegir $t=0$ y $ u=1$) y la superficie de traslación generada por $\mathcal P$ y $r$ es $$S\equiv \begin{cases} x=u \\y=t+3\\z=t^2+2\end{cases} \; (t,u\in \mathbb{R}).$$ La superficie $S$ es una de las que satisface las condiciones del problema. Eliminando $t$ y $u$ obtenemos el cilindro $S\equiv z=(y-3)^2+2$.