Desarrollos en serie de Maclaurin del seno y coseno hiperbólicos

Demostramos que las funciones seno y coseno hiperbólicos son iguales a las sumas de sus series de Maclaurin.

Enunciado
Demostrar que $$\operatorname{ch}{x}=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right),$$ $$\operatorname{sh}x=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots +\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$

Solución
Para todo $x$ número real se verifica $$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots.$$ En consecuencia, y para todo $x$ real, $$e^{-x}=1-\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +(-1)^n\dfrac{x^n}{n!}+\cdots.$$ Por tanto, y para todo $x$ real $$\operatorname{ch}{x}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots,$$ $$\operatorname{sh}{x}=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots +\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots.$$