Gráfica de $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$

Enunciado
Representar gráficamente la función $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}.$

Solución
1. Dominio. Claramente es $D(f)=\mathbb R-\{\pm 1\}$.
2. Simetrías. $f(-x)=\dfrac{(-x)^3}{(-x)^2-1}=\dfrac{-x^3}{x^2-1}.$ Entonces, y $f(-x)= -f(x).$ la función es impar y por tanto simétrica respecto del origen. Bastará pues estudiar la función para $x\ge 0.$
3. Asíntotas.
(a) Horizontales. $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=\infty.$ No existen.
(b) Verticales. Claramente son es $x=\pm 1.$
(c) Oblicuas. $$m=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{x}=1$$ $$b=\displaystyle\lim_{x\to \infty}(f(x)-mx)=\lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^3}{x^2-1}-x\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{x}{x^2-1}=0.$$ Es decir, $y=x$ es asíntota oblicua.
4. Crecimiento y decrecimiento. Derivando $$f^\prime (x)=\dfrac{3x^2(x^2-1)-2x\cdot x^3}{(x^2-1)^2}=\dfrac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2}=\dfrac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}=0,\;\; x=0,\;x=\pm\sqrt 3.$$ $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & 0& (0,1) & (1,\sqrt 3) & \sqrt 3& (\sqrt 3,+\infty)\\
f^\prime (x) & 0 & \dfrac{+\cdot -}{+}=- & \dfrac{+\cdot -}{+}=-& 0& \dfrac{+\cdot +}{+}=+\\
\text{Crec. o dec.} & & \text{dec.}& \text{dec.}& &\text{crec.}
\end{matrix}$$ Tenemos un mínimo local en $(\sqrt 3,f(\sqrt 3)=(\sqrt 3, 3\sqrt 3 /2).$
5. Concavidad. Derivada segunda: $$f^\prime (x)=\dfrac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2}\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{(4x^3-6x)(x^2-1)^2-2(x^2-1)\cdot 2x(x^4-3x^2)}{(x^2-1)^4}$$ $$=\dfrac{(4x^3-6x)(x^2-1)-4x(x^4-3x^2)}{(x^2-1)^3}=\ldots=\dfrac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}=0,\quad x=0.$$ $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & 0 & (0,1)& (1,+\infty)\\
f^{\prime\prime} (x) & 0 & \dfrac{+\cdot +}{-}=-&\dfrac{+\cdot +}{+}=+\\
\text{Concavidad} & & \text{conc. abajo}& \text{conc. arriba}
\end{matrix}$$ En $(0,0)$ obtenemos punto de inflexión que es además el único punto de corte con los ejes. La gráfica de $f$ e por tanto