Topología cociente en $X/R$

Definimos la topología cociente y proporcionamos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
Sea $(X,T)$ un espacio topológico, $R$ una relación de equivalencia en $X$ y $\pi:X\to X/R$ la proyección canónica es decir, la aplicación dada por $\pi (x)=\bar{x}$ en donde $\bar{x}$ es la clase de equivalencia a la que pertenece $x$.
1. Demostrar que $T_R :=\left\{U\subset X/R:\pi^{-1}(U)\in T\right\}$ es una topología en $X/R$. Se la denomina topología cociente de $X$ por $R$.
2. Describir intuitivamente la topología cociente en términos de «pegar puntos».
3. Demostrar que $\pi: (X,T)\to (X/R,T_R)$ es continua y que $T_R$ es la topología más fina sobre $X/R$ de entre todas las que hacen a $\pi$ continua.
4. En $X = \{0,1,2,3\}$ se consideran la topología $T$ y la relación de equivalencia $R$ dadas por $T=\left\{\emptyset, X \{0,1\},\{2,3\} \right\}$, $xRy\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z}:x-y=3k.$ Determinar la topología cociente $T_R.$

Solución
1. Veamos que $T_R$ cumple los tres axiomas de topología.
   $i)$ Tenemos $\pi^{-1}(\emptyset)=\emptyset\in T$ y $\pi^{-1}(X/R)=X\in T$, luego $\emptyset$ y $X/R$ pertenecen a $T_R$.
   $ii)$ Si $\left\{U_i:i\in I\right\}$ es una familia de elementos de $T_R$ entonces, $\pi^{-1}(U_i)\in T$ para todo $i$, con lo cual $$\pi^{-1}\left(\bigcup U_i\right)=\bigcup \underbrace{\pi^{-1}\left(U_i\right)}_{\in T}\in T\Rightarrow\bigcup U_i\in T_R.$$ $iii)$ Si $U_1,U_2$ son elementos de $T_R$ entonces, $\pi^{-1}(U_1),\pi^{-1}(U_2)\in T$, con lo cual $$\pi^{-1}\left(U_1\cap U_2\right)=\underbrace{\pi^{-1}\left(U_1\right)}_{\in T}\cap\underbrace{\pi^{-1}\left(U_2\right)}_{\in T}\in T\Rightarrow U_1\cap U_2\in T_R.$$
2. Supongamos, por ejemplo, que $U=\left\{\bar{x},\bar{y},\bar{z}\right\}$ es abierto en $T/R$, y sean $$\bar{x}=\left\{x_i:i\in I\right\},\;\bar{y}=\left\{y_j:j\in J\right\},\;\bar{z}=\left\{z_k:k\in K\right\},$$ entonces es abierto en $X$: $$\pi^{-1}\left(\left\{\bar{x},\bar{y},\bar{z}\right\}\right)=\left\{x_i:i\in I\right\}\cup \left\{y_j:j\in J\right\}\cup \left\{z_k:k\in K\right\}.$$ Es decir, del conjunto abierto de la derecha en $X$ hemos pasado al abierto $\left\{\bar{x},\bar{y},\bar{z}\right\}$ de $X/R$ «pegando» los puntos que pertenecen a una misma clase de equivalencia.
3. Si $U\in T_R$ entonces, $\pi^{-1}(U)$ es abierto en $X$ por la propia definición de $T_R$, luego $\pi$ es continua. Sea $T’$ una topología en $X/R$ respecto de la cual $\pi: (X,T)\to (X/R,T’)$ es continua. Entonces, si $U\in T’$ se verifica $\pi^{-1}(U)\in T$ y por tanto $U\in T_R.$ Es decir, $T’\subset T_R.$
4. Las clases de equivalencia son $\bar{0}=\{0,3\}$, $\bar{1}=\{1\}$ y $\bar{2}=\{0,2\}$, por tanto el conjunto cociente es $X/R=\left\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\right\}$. Siempre $\emptyset$ y $X$ pertenecen a la topología cociente. Analicemos los restantes subconjuntos de $X/R$: $$\pi^{-1}\left(\left\{\bar{0}\right\}\right)=\left\{0,3 \right\}\notin T\Rightarrow \left\{\bar{0}\right\}\notin T_R,$$ $$\pi^{-1}\left(\left\{\bar{1}\right\}\right)=\left\{1 \right\}\notin T\Rightarrow \left\{\bar{1}\right\}\notin T_R,$$ $$\pi^{-1}\left(\left\{\bar{2}\right\}\right)=\left\{2 \right\}\notin T\Rightarrow \left\{\bar{2}\right\}\notin T_R,$$ $$\pi^{-1}\left(\left\{\bar{0},\bar{1}\right\}\right)=\left\{0,3,1 \right\}\notin T\Rightarrow \left\{\bar{0},\bar{1}\right\}\notin T_R,$$ $$\pi^{-1}\left(\left\{\bar{0},\bar{2}\right\}\right)=\left\{0,3,2 \right\}\notin T\Rightarrow \left\{\bar{0},\bar{2}\right\}\notin T_R,$$ $$\pi^{-1}\left(\left\{\bar{1},\bar{2}\right\}\right)=\left\{1,2 \right\}\notin T\Rightarrow \left\{\bar{1},\bar{2}\right\}\notin T_R.$$ Concluimos que $T_R=\{\emptyset, X\}$ (topología indiscreta).