Regla y compás

Definimos el concepto de construcción por regla y compás y lo relacionamos con la teoría de extensiones de cuerpos.

1. Sea $ \mathcal{P}_0 $ un subconjunto de puntos del plano euclídeo $\mathbb{R}^2$ y admitamos las siguientes construcciones:
           (a) Regla: trazar la recta que pasa por dos puntos distintos de $\mathcal{P}_0 $.
           (b) Compás: trazar la circunferencia de centro un punto de $\mathcal{P}_0 $ y radio la distancia entre dos puntos de $\mathcal{P}_0 $.
   Definición. Se dice que un punto $ P $ del plano es construible en un sólo paso por regla y compás a partir de $\mathcal{P}_0 $ si y sólo si, $ P $ es la intersección de una recta con una recta, una recta con un círculo o un círculo con círculo, siendo éstas rectas y círculos construidos con regla y compás a partir de $\mathcal{P}_0 $.

2. Ejemplo. Sea $\mathcal{P}_0 =\{P_1,P_2\}$. Los puntos construibles por regla y compás en un un sólo paso a partir de $\mathcal{P}_0 $ son $ Q_1,Q_2,R_1,R_2 $.

   

3. Ejemplo. Sea $\mathcal{P}_0 =\{P_1,P_2,P_3\}$. El punto $ Q $ es construible un un sólo paso por regla y compás a partir de $\mathcal{P}_0 $.

   

4. Definición. Sea $ \mathcal{P}_0 $ un subconjunto de puntos del plano euclídeo $\mathbb{R}^2$ y sea $ Q_1,\;Q_2,\;\ldots,\;Q_n=Q $ una sucesión finita de puntos del plano. Se dice que $ Q $ es construible por regla y compás a partir de $ \mathcal{P}_0 $ si y sólo si para todo $ j=1,\ldots,n $ se verifica que $ Q_j $ es construible en un sólo paso por regla y compás a partir de $ \mathcal{P}_0 \cup \{Q_1,\ldots,Q_{j-1}\}$.

5. Ejemplo. Consideremos $\mathcal{P}_0 =\{P_1,P_2\}$. El punto medio del segmento $P_0P_1$ es construible por regla y compás a partir de $\{P_1,P_2\}$, para ello basta usar el método clásico de construcción:
           1. Trazamos la recta $P_1P_2$ (regla).
           2. Trazamos la circunferencia de centro $P_2$ y radio $P_1P_2$ (compás).
           3. Trazamos la circunferencia de centro $P_1$ y radio $P_1P_2$ (compás).
           4. Sean $Q_1,$ $Q_2$ las intersecciones de las anteriores circunferencias.
           5. Trazamos la recta $Q_1Q_2$ (regla).
           6. Si $Q_3$ el punto de intersección de las rectas $P_1P_2$ y $Q_1Q_2$, entonces $Q_3$ es el punto medio del segmento $P_1P_2.$

6. A continuación vamos a usar la teoría de extensiones de cuerpos para dar una condición necesaria para que un punto $Q$ sea construible (por regla y compás) a partir de un conjunto $\mathcal{P}_0$ de puntos del plano euclídeo $\mathbb{R}^2.$ Para ello, llamemos $K_0$ al subcuerpo de $\mathbb{R}$ generado por las abscisas y las ordenadas de todos los puntos de $\mathcal{P}_0.$ Dada una sucesión de puntos $ Q_1,$ $Q_2,$ $\ldots,$ $Q_n=Q$ con $Q_j=(x_j,y_j)$ tal que $Q$ es construible a partir de $\mathcal{P}_0,$ definimos inductivamente el cuerpo $K_j=K_{j-1}(x_j,y_j)$ en donde $K_{j-1}(x_j,y_j)$ representa (como en la notación habitual), el menor subcuerpo de $\mathbb{R}$ que contiene a $K_{j-1}\cup\{x_j,y_j\}.$ Tenemos así construida una torre de subcuerpos $$K_0\subset K_1\subset K_2\subset \ldots \subset K_n\subset \mathbb{R}.$$

7. Lema. Con las notaciones anteriores, $x_j$ e $y_j$ son ceros en $K_j$ de polinomios cuadráticos o de primer grado sobre $K_{j-1}.$
   Demostración. Tenemos que considerar tres casos: recta intersección con circunferencia, circunferencia intersección con circunferencia y recta intersección con recta.
           $(a)$ Recta intersección con circunferencia. Sean $A(p,q),$ $B(r,s),$ $C(t,u)$ puntos cuyas coordenadas pertenecen a $K_{j-1}.$ La ecuación de la recta que pasa los puntos $A$ y $B$ es $$\frac{x-p}{r-p}=\frac{y-q}{s-q}.\qquad (1)$$ La ecuación de una circunferencia de centro $C$ y radio $w$ es $$(x-t)^2+(y-u)^2=w^2.\qquad (2)$$ Como $w^2$ es la distancia al cuadrado entre dos puntos cuyas coordenadas pertenecen a $K_{j-1}$ se verifica $w^2\in K_{j-1}$ como consecuencia del teorema de Pitágoras. Eliminando $y$ entre las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ obtenemos $$(x-t)^2+\left(\frac{s-q}{r-p}(x-p)+q-u\right)^2=w^2.$$ De esta forma, las abscisas de los puntos de intersección de $(1)$ y $(2)$ son ceros en $K_j$ de un polinomio cuadrático con coeficientes en $K_{j-1}.$ Análogo razonamiento para las ordenadas.
           $(b)$ Circunferencia intersección con circunferencia. Sean $C(t,u),$ $C^\prime(t^\prime,u^\prime),$ puntos cuyas coordenadas pertenecen a $K_{j-1}.$ La ecuación de una circunferencia de centro $C$ y radio $w$ es $$(x-t)^2+(y-u)^2=w^2,\qquad (3)$$ y la ecuación de una circunferencia de centro $C^\prime$ y radio $w^\prime$ es $$(x-t^\prime)^2+(y-u^\prime)^2={w^\prime} ^2.\qquad (4)$$ Como en el caso $(b),$ $w^2$ y es ${w^\prime} ^2$ pertenecen a $K_{j-1}.$ Restando las igualdades $(3)$ y $(4)$ obtenemos una relación lineal entre $x$ e $y.$ Despejando en esta relación $x$ en función de $y$ (o $y$ en función de $x$) y sustituyendo en $(3)$ o $(4)$ deducimos que las abscisas y ordenadas de los puntos de intersección de $(3)$ y $(4)$ son ceros en $K_j$ de un polinomio cuadrático con coeficientes en $K_{j-1}.$
           $(c)$ Recta intersección con recta. Sean $A(p,q),$ $B(r,s),$ $A^\prime (p^\prime,q^\prime),$ $B^\prime(r^\prime,s^\prime),$ puntos cuyas coordenadas pertenecen a $K_{j-1}.$ La ecuación de la recta que pasa los puntos $A^\prime$ y $B^\prime$ es $$\frac{x-p}{r-p}=\frac{y-q}{s-q},\qquad (5)$$ y la ecuación de la recta que pasa los puntos $A^\prime$ y $B^\prime$ es $$\frac{x-p^\prime}{r^\prime-p^\prime}=\frac{y-q^\prime}{s^\prime-q^\prime}.\qquad (6)$$ Despejando $x$ en función de $y$ (o $y$ en función de $x$) en $(5)$ y sustituyendo en $(6)$ deducimos que las abscisas y ordenadas de los puntos de intersección de $(5)$ y $(6)$ son ceros en $K_j$ de un polinomio de primer grado con coeficientes en $K_{j-1}.$ $\qquad\square$

8. Teorema. Si el punto $Q(x,y)$ es construible por regla y compas a partir del subconjunto $\mathcal{P}_0$ de $\mathbb{R}^2$ y $K_0$ es el subuerpo de $\mathbb{R}$ generado por las abscisas y ordenadas de los puntos de $\mathcal{P}_0,$ entonces los grados $[K_0(x):K_0]$ y $[K_0(y):K_0]$ son potencias de $2.$
   Demostración. Usamos las mismas notaciones acumuladas. Por el lema anterior, $[K_{j-1}(x_j):K_{j-1}]$ es igual a $1$ o a $2,$ siendo $2$ si el polinomio cuadrático sobre $K_{j-1}$ que anula a $x_j$ es irreducible y $1$ en otro caso. Análogamente $[K_{j-1}(y_j):K_{j-1}]$ es igual a $1$ o a $2.$ Por el teorema de la torre, $$[K_j:K_{j-1}]=[K_{j-1}(x_j,y_j):K_{j-1}]$$ $$=[K_{j-1}(x_j,y_j):K_{j-1}(x_j)][K_{j-1}(x_j):K_{j-1}]$$ $$=[K_j:K_{j-1}(x_j)][K_{j-1}(x_j):K_{j-1}]=1\text{ o } 2\text{ o }4$$ es decir, en cualquier caso $[K_{j}:K_{j-1}]$ es una potencia de $2$ con lo cual, $[K_n:K_0]$ es una potencia de $2.$ Ahora bien, $$[K_n:K_0(x)][K_0(x):K_0]=[K_n:K_0],$$ con lo cual $[K_0(x):K_0]$ es una potencia de $2.$ De manera análoga, $[K_0(y):K_0]$ es una potencia de $2.$ $\qquad \square$