Cuadratura del círculo

       Demostramos la imposibilidad de la cuadratura del círculo.

1. Definición. Se denomina cuadratura del círculo al problema que consiste en hallar con sólo regla y compás un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.

2. Teorema. El problema de la cuadratura del círculo no tiene solución.
   Demostración. Recordemos que un número $x\in\mathbb{R}$ se dice que es construible si se puede construir un segmento de longitud $\left|x\right|$ a partir de uno de longitud $1$ por medio de regla y compás, y que el conjunto de los números construibles es un subcuerpo de $\mathbb{R}.$ Recordemos también que el número $\pi$ es trascendente.
          Si fuera posible la cuadratura del círculo podríamos construir el punto $(0,\sqrt{\pi})$ a partir del conjunto $\mathcal{P}_0=\{(0,0),(0,1)\},$ con lo cual sería construible el punto $(0,\pi).$ Por el teorema 8 tendríamos $[\mathbb{Q}(\pi):\mathbb{Q}]$ es una potencia de $2$ lo cual implicaría que $\pi$ es algebraico (absurdo). $\qquad\square$