Teorema de Rolle

Proporcionamos ejercicios sobre el Teorema de Rolle.

TEORÍA

1 Verificar la validez del Teorema de Rolle para la función $ f(x)=x^3+4x^2-7x-10$ en el intervalo $[-1,2]$. Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes.

SOLUCIÓN

2 Verificar la validez del Teorema de Rolle para la función $f(x)=\log (\sin x)$ en el intervalo $[\pi/6,5\pi/6]$

SOLUCIÓN

3 Aplicar el Teorema de Rolle para demostrar que para todo  $m\in\mathbb{R}$  la ecuación  $2x^5+x+m=0$  no puede tener dos soluciones reales.

SOLUCIÓN

4  Demostrar el teorema de Rolle:
Sea  $ f:[a,b]\to \mathbb{R} $ una función. Supongamos que se verifica:
$(i)\; f $ es continua en $ [a,b]. $
$(ii)\;f$ es derivable en $ (a,b).$
$(iii)\; f(a)=f(b) $.
Entonces, existe al menos un $c\in (a,b)$ tal que $f’(c)=0 $

SOLUCIÓN

5 Verificar la validez del teorema de Rolle para la función $f:[1,2]\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\sqrt[3]{x^2-3x+2}.$

SOLUCIÓN

6 Demostrar que la ecuación $x^3-3x+\alpha=0$ con $\alpha\in\mathbb{R}$ no puede tener dos soluciones distintas en el intervalo $(0,1).$

SOLUCIÓN

7 Sea $f(x)=1+x^m(x-1)^n$ en donde $m,n$ son enteros positivos. Sin hallar $f’(x)$ demostrar que la ecuación $f’(x)=0$ tiene al menos una solución en el intervalo $(0,1)$.

SOLUCIÓN

8 Se considera el polinomio $p(x)\in\mathbb{R}[x]:$ $$p(x)=a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n.$$ Demostrar que si $x_0$ es una raíz positiva de $p(x)$, entonces el polinomio $a_1+2a_2x+\ldots+na_nx^{n-1}$ tiene una raíz positiva menor que $x_0$.

SOLUCIÓN

9 Sin calcular la derivada de la función $$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),$$ establecer cuantas raíces tiene $f’(x)$ e indicar en qué intervalos están.

SOLUCIÓN

10 Demostrar que la función $f(x)=x^n+px+q$ con $n\geq 2$ entero y $p,q$ reales no puede tener más de dos soluciones reales siendo $n$ par, ni más de tres siendo $n$ impar.

SOLUCIÓN
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