Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Proporcionamos ejercicios sobre aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

TEORÍA

1  Sea $A$ un conjunto no vacío y la aplicación $f:A\to \mathcal{P}(A)$ dada por $f(a)=\{a\}.$ Estudiar si es inyectiva y/o sobreyectiva.

SOLUCIÓN

2  Sea $A$ un conjunto no vacío y la aplicación  $f:\mathcal{P}(A)\to \mathcal{P}(A)$ dada por $f(X)=X^c.$ Estudiar si biyectiva.

SOLUCIÓN

3  Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=2x+5$ es biyectiva.

SOLUCIÓN

4  Determinar si las siguientes aplicaciones son inyectivas y si son sobreyectivas.
$(a)$ $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\; f(x)=x^3.$
$(b)$ $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\; g(x)=x^2.$
$(c)$ $h:\mathbb{R}\to [0,+\infty),\; h(x)=x^2.$
$(d)$ $i:\mathbb{Z}\to \mathbb{Q},\; i(x)=x.$

SOLUCIÓN

5  Determinar si las siguientes aplicaciones son inyectivas y si son sobreyectivas.
$(a)\;f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\; f(x)=e^x.$
$(b)\; g:[0,+\infty)\to [1,+\infty),\; g(x)=x^2+1.$

SOLUCIÓN

6  Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ dos aplicaciones. Demostrar que:
$(i)$ Si $f$ y $g$ son sobreyectivas, entonces $g\circ f$ es sobreyectiva.
$(ii)$ Si $f$ y $g$ son inyectivas, entonces $g\circ f$ es inyectiva.
$(iii)$ Si $f$ y $g$ son biyectivas, entonces $g\circ f$ es biyectiva.

SOLUCIÓN
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