Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Proporcionamos ejercicios sobre aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $A$ un conjunto no vacío y la aplicación $f:A\to \mathcal{P}(A)$ dada por $f(a)=\{a\}.$ Estudiar si es inyectiva y/o sobreyectiva.
  2. Sea $A$ un conjunto no vacío y la aplicación $f:\mathcal{P}(A)\to \mathcal{P}(A)$ dada por $f(X)=X^c.$ Estudiar si biyectiva.
  3. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=2x+5$ es biyectiva.
  4. Determinar si las siguientes aplicaciones son inyectivas y si son sobreyectivas.
    $(a)$ $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\; f(x)=x^3.$
    $(b)$ $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\; g(x)=x^2.$
    $(c)$ $h:\mathbb{R}\to [0,+\infty),\; h(x)=x^2.$
    $(d)$ $i:\mathbb{Z}\to \mathbb{Q},\; i(x)=x.$
  5. Determinar si las siguientes aplicaciones son inyectivas y si son sobreyectivas.
    $(a)\;f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\; f(x)=e^x.$
    $(b)\; g:[0,+\infty)\to [1,+\infty),\; g(x)=x^2+1.$
  6. Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ dos aplicaciones. Demostrar que:
    $(i)$ Si $f$ y $g$ son sobreyectivas, entonces $g\circ f$ es sobreyectiva.
    $(ii)$ Si $f$ y $g$ son inyectivas, entonces $g\circ f$ es inyectiva.
    $(iii)$ Si $f$ y $g$ son biyectivas, entonces $g\circ f$ es biyectiva.
    Solución
  1. Se verifica $f(a)=f(b)\Rightarrow \{a\}=\{b\}\Rightarrow a=b,$ luego $f$ es inyectiva. No es sobreyectiva pues no existe $x\in A$ tal que $f(x)=\emptyset \in \mathcal{P}(A).$
  2. Se verifica $$f(X)=f(Y)\Rightarrow X^c=Y^c\Rightarrow \left(X^c\right)^c=\left(Y^c\right)^c\Rightarrow X=Y,$$ luego $f$ es inyectiva. Por otra parte, para todo $Y\in\mathcal{P}(A)$ se verifica $f\left(Y^c\right)=\left(Y^c\right)^c=Y,$ por tanto $f$ es sobreyectiva. Concluimos que $f$ es biyectiva.
  3. Para todo $x_1,x_2\in\mathbb{R}:$ $$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow 2x_1+5=2x_2+5\Rightarrow 2x_1=2x_2\Rightarrow x_1=x_2,$$ es decir $f$ es inyectiva.
    Sea $y\in\mathbb{R}$ genérico. Entonces, $\exists x\in\mathbb{R}:f(x)=y\Leftrightarrow \exists x\in\mathbb{R}:2x+5=y.$
    La última ecuación tiene la solución $x=\dfrac{y-5}{2}\in\mathbb{R}$. La aplicación es sobreyectiva. Concluimos pues que $f$ es biyectiva.
  4. $(a)$ Para todo $x_1,x_2\in\mathbb{R}:$ $$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1^3=x_2^3\Rightarrow \sqrt[3]{x_1^3}=\sqrt[3]{x_2^3}\Rightarrow x_1=x_2,$$ es decir $f$ es inyectiva. Sea $y\in\mathbb{R}$ genérico. Entonces, $$\exists x\in\mathbb{R}:f(x)=y\Leftrightarrow \exists x\in\mathbb{R}:x^3=y.$$ La última ecuación tiene la solución $x=\sqrt[3]{y}\in\mathbb{R}$. La aplicación es sobreyectiva. Concluimos pues que $f$ es biyectiva.

    $(b)$ Se verifica $g(1)=g(-1)=1$, es decir $g$ no es inyectiva. Por otra parte, no existe $x\in\mathbb{R}$ tal que $g(x)=x^2=-1$, por tanto tampoco es sobreyectiva.

    $(c)$ Se verifica $h(1)=h(-1)=1$, es decir $h$ no es inyectiva. Sea $y\in [0,+\infty)$ genérico. Entonces, $\exists x\in\mathbb{R}:h(x)=y\Leftrightarrow \exists x\in\mathbb{R}:x^2=y.$
    Dado que $y\geq 0$, la última ecuación tiene solución, en concreto las soluciones $x=\pm\sqrt{y}\in\mathbb{R}$. La aplicación es sobreyectiva.
    $(d)$ Para todo $x_1,x_2\in\mathbb{Z}:$ $i(x_1)=i(x_2)\Rightarrow x_1=x_2,$ es decir, $i$ es inyectiva.
    Elijamos por ejemplo $y=1/2\in\mathbb{Q}$. Entonces, $$\exists x\in\mathbb{Z}:i(x)=1/2\Leftrightarrow \exists x\in\mathbb{Z}:x=1/2.$$ Pero $1/2\not\in \mathbb{Z}$, es decir $i$ no es sobreyectiva.

  5. $(a)$ Para todo $x_1,x_2\in\mathbb{R}:$ $$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow e^{x_1}=e^{x_2}\Rightarrow e^{x_1}/e^{x_2}=1$$ $$\Rightarrow e^{x_1-x_2}=1\Rightarrow x_1-x_2=0\Rightarrow x_1=x_2,$$ es decir $f$ es inyectiva. La función exponencial $f(x)=e^x$ solamente toma valores positivos, en consecuencia $f$ no es sobreyectiva.
    $(b)$ Para todo $x_1,x_2\in [0,+\infty):$ $$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1^2+1=x_2^2+1\Rightarrow x_1^2=x_2^2.$$ Dado que $x_1$ y $x_2$ son $\geq 0$, ha de ser $x_1=x_2.$. Es decir, $f$ es inyectiva. Sea $y\in [1,+\infty)$ genérico. Entonces $$\exists x\in [0,+\infty):f(x)=y\Leftrightarrow \exists x\in [0,+\infty):x^2+1=y.$$ Como $y\geq 1$, $y-1\geq 0$ y la última ecuación tiene la solución $x=+\sqrt{y-1}\in [0,+\infty) $. La aplicación es sobreyectiva. Concluimos pues que $f$ es biyectiva.
  6. $(i)$ Sea $c\in C$. Como $g$ es sobreyectiva, $\exists b\in B$ tal que $c=g(b).$ Como $f$ es sobreyectiva, $\exists a\in A$ tal que $b=g(a).$ Entonces, $(g\circ f)(a)=g(f(a))=g(b)=c$, por tanto $g\circ f$ es sobreyectiva.
    $(ii)$ Sean $a_1,a_2\in A$. Entonces, $$(g\circ f)(a_1)=(g\circ f)(a_2)\Rightarrow g\left(f(a_1)\right)=g\left(f(a_2)\right).$$ Como $g$ es inyectiva, se verifica $f(a_1)=f(a_2).$ Pero $f$ es también inyectiva, por tanto $a_1=a_2$. Concluimos que $g\circ f$ es inyectiva.
    $(iii)$ Es consecuencia inmediata de los apartados anteriores.
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