Independencia funcional

TEORÍA

Enunciado
1.  Demostrar que si $v^1,v^2,\ldots,v^p$ son funcionalmente independientes, también son linealmente independientes.

2.  Demostrar que  $$v^1=\begin{bmatrix}{e^{-t}}\\{0}\\{-1}\\{e^{-t}}\end{bmatrix}\;,\quad v^2=\begin{bmatrix}{0}\\{t^2}\\{0}\\{-1}\end{bmatrix}\;,\quad v^3=\begin{bmatrix}{1}\\{t^2}\\{-e^{-t}}\\{0}\end{bmatrix}$$ son linealmente independientes en $[0,1],$ pero funcionalmente dependientes.

Solución
1.  Sean $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_p\in\mathbb{K}$ tales que $$\alpha_1v^1+\alpha_2v^2+\cdots+\alpha_pv^p=0.$$ Consideremos las funciones constantes $f_i(t)=\alpha_i$ $(i=1,\ldots,p),$ que claramente son de clase $1$ en $I.$ Entonces, $$f_1v^1+f_2v^2+\cdots+f_pv^p=0.$$ Por hipótesis $v^1,v^2,\ldots,v^p$ son funcionalmente independientes, lo cual implica que $f_1=f_2=\ldots=f_p=0,$ y por tanto $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_p=0,$ luego $v^1,v^2,\ldots,v^p$ son también linealmente independientes.

2.   Supongamos que $$\alpha_1\;\begin{bmatrix}{e^{-t}}\\{0}\\{-1}\\{e^{-t}}\end{bmatrix}+\alpha_2\;\begin{bmatrix}{0}\\{t^2}\\{0}\\{-1}\end{bmatrix} +\alpha_3\;\begin{bmatrix}{1}\\{t^2}\\{-e^{-t}}\\{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{0}\end{bmatrix}$$ con $\alpha_i\in\mathbb{R}.$ La igualdad anterior equivale al sistema $$\left \{ \begin{matrix}  \alpha_1e^{-t}+\alpha_3=0\\\alpha_2t^2+\alpha_3t^2=0\\-\alpha_1-\alpha_3e^{-t}=0\\\alpha_1e^{-t}-\alpha_2=0.\end{matrix}\right.$$ Para $t=0$ y $t=1$ obtenemos respectivamente $$S_1:\left \{ \begin{matrix}  \alpha_1+\alpha_3=0\\0=0\\-\alpha_1-\alpha_3=0\\\alpha_1-\alpha_2=0,\end{matrix}\right.\quad S_2: \left \{ \begin{matrix}  \alpha_1e^{-1}+\alpha_3=0\\\alpha_2+\alpha_3=0\\-\alpha_1-\alpha_3e^{-1}=0\\\alpha_1e^{-1}-\alpha_2=0.\end{matrix}\right.$$ Las igualdades $$\left \{ \begin{matrix}  \alpha_1+\alpha_3=0\\\alpha_1-\alpha_2=0\\\alpha_1e^{-1}+\alpha_3=0,\end{matrix}\right.$$ implican de manera inmediata que $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0,$ es decir los vectores $v^1,v^2,v^3$ son linealmente independientes.

Elijamos ahora las funciones $f_1(t)=e^t,\; f_2(t)=1,\; f_3(t)=-1.$ Se verifica $$f_1v^1+f_2v^2+f_3v^3=0,$$ por tanto,  $v^1,v^2,v^3$ son funcionalmente dependientes.

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