Determinantes por inducción

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de determinantes por inducción.

    Enunciado
  1. Calcular el determinante de orden $n$: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1+x^2 & x & 0 & \ldots & 0\\
    x & 1+x^2 & x & \ldots & 0 \\
    0 & x & 1+x^2 & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 1+x^2
    \end{vmatrix}\;.$$
  2. Calcular el determinante de orden $n,$ $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & 1\\
    -1 & 2 & 0 & 0 &\ldots & 0 & 0\\
    0 & -1 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    0 & 0 & -1 & 2 &\ldots & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    & & & & & & \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 2
    \end{vmatrix}\;.$$
  3. Calcular el determinante de orden $n$ $$D_n(x)=
    \begin{vmatrix}
    n & n-1 & n-2 & \ldots & 3 & 2 & 1\\
    -1 & x & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
    0 & -1 & x & \ldots & 0 & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    & & & & & & \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & x & 0\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & x
    \end{vmatrix}\;.$$
  4. Calcular el determinante de orden $n$: $$D_n(x)=
    \begin{vmatrix}
    2x & x^2 & 0 & \ldots & 0 \\
    1 & 2x & x^2 & \ldots & 0 \\
    0 & 1 & 2x & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 2x
    \end{vmatrix}.$$
    Solución
  1. Hallemos los determinantes de órdenes $1,$ $2$ y $3$ para analizar si siguen alguna relación. $$\Delta_1=\begin{vmatrix} 1+x^2\end{vmatrix}=1+x^2,\; \Delta_2=\begin{vmatrix} 1+x^2 & x\\
    x & 1+x^2\end{vmatrix}=1+x^2+x^4,$$ $$\Delta_3=\begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0\\
    x & 1+x^2 & x\\
    0 & x & 1+x^2\end{vmatrix}=1+x^2+x^4+x^6.$$ El cálculo de los determinantes anteriores permite conjeturar la fórmula $$\Delta_n=1+x^2+x^4+\cdots +x^{2n}.$$ Demostremos la fórmula por inducción. El paso base ya está demostrado. Supongamos que la fórmula conjeturada es cierta para todo $k\leq n,$ y demostremos que también es válida para $n+1.$ Desarrollando por los elementos de la primera columna:$$\Delta_{n+1}=
    \begin{vmatrix}
    1+x^2 & x & 0 & 0 &\ldots & 0\\
    x & 1+x^2 & x & 0 & \ldots & 0 \\
    0 & x & 1+x^2 & x & \ldots & 0 \\
    0 & 0 & x & 1+x^2 & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&&\vdots\\
    0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1+x^2
    \end{vmatrix}$$ $$=(1+x^2)\Delta_n-x\begin{vmatrix}
    x & 0 & 0 &\ldots & 0\\
    x & 1+x^2 & x & \ldots & 0 \\
    0 & x & 1+x^2 & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 1+x^2
    \end{vmatrix}$$ $$=(1+x^2)\Delta_n-x^2\Delta_{n-1}=(1+x^2)(1+x^2+x^4+\cdots +x^{2n})$$ $$-x^2(1+x^2+x^4+\cdots +x^{2n-2})=1+x^2+x^4+\cdots +x^{2n}$$ $$+x^2+x^4+x^6+\cdots +x^{2n+2}-x^2-x^4-x^6-\cdots -x^{2n}$$ $$=1+x^2+x^4+x^6\cdots +x^{2(n+1)}.$$ Es decir, la fórmula es cierta para $n+1.$
  2. Hallemos los determinantes de órdenes $1,$ $2$ y $3$ para analizar si siguen alguna relación. $$\Delta_1=\begin{vmatrix} 1\end{vmatrix}=1,\; \Delta_2=\begin{vmatrix} 1 & 1\\
    -1 & 2\end{vmatrix}=3,\;\Delta_3=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\
    -1 & 2 & 0\\
    0 & -1 & 2\end{vmatrix}=7.$$ Es decir, $\Delta_1=2^1-1,$ $\Delta_2=2^2-1,$ $\Delta_3=2^3-1,$ lo cual permite conjeturar la fórmula $$\Delta_n=2^n-1.$$ Demostremos la fórmula por inducción. El paso base ya está demostrado. Supongamos que la fórmula conjeturada es cierta para todo $k\leq n,$ y demostremos que también es válida para $n+1.$ Desarrollando por los elementos de la primera columna: $$\Delta_{n+1}=1\begin{vmatrix}
    2 & 0 & 0 &\ldots & 0 & 0\\
    -1 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    0 & -1 & 2 &\ldots & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 2
    \end{vmatrix}$$ $$+(-1)(-1)\begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & 1\\
    -1 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    0 & -1 & 2 &\ldots & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 2
    \end{vmatrix}=2^n+\Delta_n$$ $$=2^n+2^n-1=2\cdot 2^{n}-1=2^{n+1}-1.$$ Por tanto, la fórmula es cierta para $n+1.$
  3. Hallemos los determinantes de órdenes $1,$ $2$ y $3$ para analizar si siguen alguna relación. $$D_1(x)=\begin{vmatrix} 1\end{vmatrix}=1,\; D_2(x)=\begin{vmatrix} 2 & 1\\
    -1 & x\end{vmatrix}=1+2x,$$ $$D_3(x)=\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\
    -1 & x & 0\\
    0 & -1 & x\end{vmatrix}=1+2x+3x^2.$$ El cálculo de los determinantes anteriores permite conjeturar la fórmula $$D_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}.$$ Demostremos la fórmula por inducción. El paso base ya está demostrado. Supongamos que la fórmula conjeturada es cierta para todo $k\leq n,$ y demostremos que también es válida para $n+1.$ Desarrollando por los elementos de la primera columna: $$D_{n+1}(x)=
    \begin{vmatrix}
    n+1 & n & n-1 & \ldots & 3 & 2 & 1\\
    -1 & x & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
    0 & -1 & x & \ldots & 0 & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    & & & & & & \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & x & 0\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & x
    \end{vmatrix}$$ $$=(n+1)\begin{vmatrix}
    x & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
    -1 & x & \ldots & 0 & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    & & & & & & \\
    0 & 0 & \ldots & -1 & x & 0\\
    0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & x
    \end{vmatrix}$$ $$+(-1)(-1)\begin{vmatrix}
    n & n-1 & \ldots & 3 & 2 & 1\\
    -1 & x & \ldots & 0 & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    & & & & & & \\
    0 & 0 & \ldots & -1 & x & 0\\
    0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & x
    \end{vmatrix}$$ $$=(n+1)x^{n}+D_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}+(n+1)x^n.$$ Es decir, la fórmula es cierta para $n+1.$
  4. Hallemos los determinantes de órdenes $1,$ $2$ y $3$ para analizar si siguen alguna relación. $$D_1(x)=\begin{vmatrix} 2x\end{vmatrix}=2x,\; D_2(x)=\begin{vmatrix} 2x & x^2\\
    1 & 2x\end{vmatrix}=3x^2,$$ $$D_3(x)=\begin{vmatrix} 2x & x^2 & 0\\
    1 & 2x & x^2\\
    0 & 1 & 2x\end{vmatrix}=4x^3.$$ El cálculo de los determinantes anteriores permite conjeturar la fórmula $$D_n(x)=(n+1)x^{n}.$$ Demostremos la fórmula por inducción. El paso base ya está demostrado. Supongamos que la fórmula conjeturada es cierta para todo $k\leq n,$ y demostremos que también es válida para $n+1.$ Desarrollando por los elementos de la primera columna:$$D_{n+1}(x)=
    \begin{vmatrix}
    2x & x^2 & 0 & 0 &\ldots & 0\\
    1 & 2x & x^2 & 0 & \ldots & 0 \\
    0 & 1 & 2x & x^2 & \ldots & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 2x & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&&\vdots\\
    0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 2x
    \end{vmatrix}$$ $$=2xD_n(x)-1\begin{vmatrix}
    x^2 & 0 & 0 &\ldots & 0\\
    1 & 2x & x^2 & \ldots & 0 \\
    0 & 1 & 2x & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 2x
    \end{vmatrix}$$ $$=2xD_n(x)-x^2D_{n-1}(x)=2x(n+1)x^n-x^2nx^{n-1}=(n+2)x^{n+1}.$$ Es decir, la fórmula es cierta para $n+1.$
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