Determinantes por inducción

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de determinantes por inducción.

1  Calcular el determinante de orden $n$: $$\Delta_n=
\begin{vmatrix}
1+x^2 & x & 0 & \ldots & 0\\
x & 1+x^2 & x &  \ldots & 0 \\
0 & x & 1+x^2 &  \ldots & 0 \\
\vdots&&&&\vdots\\
0 & 0 & 0 &  \ldots & 1+x^2
\end{vmatrix}\;.$$

SOLUCIÓN

2  Calcular el determinante de orden $n,$ $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & 1\\
-1 & 2 & 0 & 0 &\ldots & 0 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 2 &\ldots & 0 & 0\\
\vdots&&&&&&\vdots \\
&  &  &  & &  & \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 2
\end{vmatrix}\;.$$

SOLUCIÓN

3  Calcular el determinante de orden $n$ $$D_n(x)=
\begin{vmatrix}
n & n-1 & n-2 &  \ldots & 3 & 2 & 1\\
-1 & x & 0 &  \ldots & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & x &  \ldots & 0 & 0 & 0\\
\vdots&&&&&&\vdots \\
&  &  &  &  &  & \\
0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & x & 0\\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & x
\end{vmatrix}\;.$$

SOLUCIÓN

4 Calcular el determinante de orden $n$: $$D_n(x)=
\begin{vmatrix}
2x & x^2 & 0 & \ldots & 0 \\
1 & 2x & x^2 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 2x & \ldots & 0 \\
\vdots&&&&\vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots & 2x
\end{vmatrix}.$$

SOLUCIÓN
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