Sistema gradiente y factor integrante

Enunciado
Dado el sistema diferencial plano

$\left \{ \begin{matrix}x’=4(x^2+xy)\mu(x+y)\\ y’=(3x^2+2xy-y^2)\mu (x+y)\end{matrix}\right.$

con $\mu:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de clase $\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$, se pide

(i) Encontrar una función $\mu$ no idénticamente nula para que dicho sistema sea un sistema gradiente.
(ii) Determinar una función potencial $G:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ para el sistema gradiente del apartado (i).
(iii) Resolver la ecuación diferencial

$4(x^2+xy)\;dx+(3x^2+2xy-y^2)\;dy=0.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
(i) El campo $v=(v_1,v_2)$ asociado al sistema es de clase 1 en el conjunto simplemente conexo $\mathbb{R}^2$ en consecuencia el sistema es gradiente si y sólo si $\dfrac{\partial v_1}{\partial y}=\dfrac{\partial v_2}{\partial x}.$ Tenemos

$$\frac{{\partial v_1}}{{\partial y}}=\frac{{\partial v_2}}{{\partial x}} \Leftrightarrow 4x\mu (x+y)+4(x^2+xy)\mu’(x+y)$$ $$=
(6x+2y)\mu(x+y)+(3x^2+2xy-y^2)\mu’(x+y) $$ $$\Leftrightarrow
(x+y)^2\mu’(x+y)-2(x+y)\mu(x+y)=0.$$

Sea $z=x+y$, tenemos que hallar una solución de la ecuación $z\mu’(z)-2\mu(z)=0$ y podemos tomar como tal, $\mu(z)=z^2.$ Por tanto, una función que satisface las condiciones del enunciado es $\mu(x+y)=(x+y)^2.$

(ii) Para la función $\mu(x+y)=(x+y)^2$ el sistema dado es sistema gradiente en todo el plano de fases $\mathbb{R}^2$ y por tanto existe una función potencial $G:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ de clase 2 tal que $\nabla G=-v.$ Integrando respecto de $x$ obtenemos

$$G(x,y)=\displaystyle\int -v_1\;dx=\displaystyle\int -4(x^2+xy)(x+y)^2\;dx$$ $$=
\displaystyle\int -4(x^4+3x^3y+3x^2y^2+xy^3)\;dx$$ $$
=-\dfrac{4}{5}x^5-3x^4y-4x^3y^2-2x^2y^3+\varphi (y).$$

Desarrollando ahora $v_2:$

$v_2=(3x^2+2xy-y^2)(x+y)^2=3x^4+8x^3y+6x^2y^2-y^4.$

Obligando a que $\dfrac{\partial G}{\partial y}=-v_2:$

$-3x^4-8x^3y-6x^2y^2+\varphi’(y)=-3x^4-8x^3y-6x^2y^2+y^4.$

Queda $\varphi’(y)=y^4$ y podemos elegir $\varphi(y)=y^5/5.$ Una función potencial es por tanto

$G(x,y)=-\dfrac{4}{5}x^5-3x^4y-4x^3y^2-2x^2y^3+\dfrac{1}{5} y^5.$

(iii) Un factor integrante de la ecuación dada es justamente $\mu(x,y)=(x+y)^2$ con lo cual la solución general de la ecuación dada es $G(x,y)=C$ con $C$ constante y $G(x,y)$ la función potencial del apartado anterior.

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