Propiedades de la dimensión

En los siguientes ejercicos aplicamos propiedades de la dimensión.

TEORÍA

1 Demostrar que los siguientes vectores forma base de $\mathbb{R}^4$ $$(2,1,0,1),\;(0,1,2,2),\;(-2,1,1,2),\;(1,3,1,2).$$

SOLUCIÓN

2 Sean $E_1$ y $E_2$ subespacios de $E$ tales que $\dim E_1=4,$ $\dim E_2=5$ y $\dim E=7.$ Se pide hallar la posible dimensión de $E_1\cap E_2.$

SOLUCIÓN

3 Si $A\in \mathbb{R}^{4\times 4}$ tiene rango $3,$ y $F,C$ son los subespacios de $\mathbb{R}^4$ generados por las filas y las columnas de $A$ respectivamente, demostrar que $\dim (F\cap C)\geq 2.$

SOLUCIÓN

4 En $\mathbb{R}^3,$ demostrar que $F_1=F_2,$ siendo $F_1=\langle (1,2,1),(1,3,2)\rangle$ y $F_2=\langle (1,1,0),(3,8,5)\rangle.$

SOLUCIÓN

5 Sea $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ un polinomio de grado $2.$ Demostrar que $B=\{p(x), p’(x),p”(x)\}$ es base de $\mathbb{R}_2[x].$

SOLUCIÓN

6 Sea $U$ un subespacio de $M_3(\mathbb{R})$ de dimensión $4.$ Demostrar que $U$ contiene alguna matriz simétrica no nula.

SOLUCIÓN
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