Ecuación de tercer grado

Proporcionamos ejercicios de resolución de la ecuación de tercer grado usando la fórmula general.

    Enunciado
  1. Resolver la ecuación $x^3+3x^2-3x-14=0.$
  2. Resolver la ecuación $x^3-12x+16=0.$
  3. Usando el discriminante, estudiar el tipo de soluciones de las ecuaciones:
    $(a)\;x^3+3x^2-3x-14=0.$
    $(b)\;x^3-12x+16=0.$
    $(c)\;x^3-10x+30.$
  4. Demostrar que la sustitución $x=y-\dfrac{a}{3}$ transforma la ecuación $x^3+ax^2+bx+c$ $=0,$ en la ecuación equivalente $y^3+py+q=0.$
    Solución
  1. Recordemos los siguiente resultados teóricos:
    Teorema. La sustitución $x=y-\dfrac{a}{3}$ transforma la ecuación de tercer grado $$x^3+ax^2+bx+c=0,\quad (a,b,c\in\mathbb{C})$$ en la ecuación equivalente $$y^3+py+q=0,\quad p,q\in\mathbb{C}.\quad \square$$ Teorema. Sea la ecuación $y^3+py+q=0$ con $ p,q\in\mathbb{C}.$ Entonces,
    $1)$ Las soluciones de esta ecuación son $$y=\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\beta}$$ siempre y cuando $\alpha\beta=-p/3.$
    $2)$ Sean $1,\epsilon,\epsilon^2$ las raíces cúbicas de la unidad, es decir $$1,\quad\epsilon=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2},\quad\epsilon^2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}.$$ Supongamos que $\alpha_1$ y $\beta_1$ son valores de $\alpha$ y $\beta$ respectivamente tales que $\alpha_1\beta_1=-p/3.$ Entonces, las soluciones de la ecuación dada son $$\begin{aligned}&y_1=\alpha_1+\beta_1\\
    &y_2=\alpha_1\epsilon+\beta_1\epsilon^2\\
    &y_3=\alpha_1\epsilon^2+\beta_1\epsilon.\quad\square\end{aligned}$$
    Efectuando la sustitución $x=y-1:$ $$(y-1)^3+3(y-1)^2-3(y-1)-14=0 $$ $$\Leftrightarrow y^3-6y-9=0.\qquad (*)$$ Tenemos $p=-6,$ $q=-9,$ por tanto $$\alpha= \sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{\frac{81}{4}-\frac{216}{27}}}=\sqrt[3]{\frac{9}{2}+\frac{7}{2}}=\sqrt[3]{8},\quad \beta=\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\frac{7}{2}}=\sqrt[3]{1}$$ Para $\alpha_1=2$ y $\beta_1=1$ obtenemos $\alpha_1\beta_1=2=-p/3,$ luego las soluciones de $(*)$ son $$\begin{aligned}&y_1=\alpha_1+\beta_1=3,\\
    &y_2=\alpha_1\epsilon+\beta_1\epsilon^2=2\cdot\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\\
    &y_3=\alpha_1\epsilon^2+\beta_1\epsilon=2\cdot\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.\end{aligned}$$ En consecuencia, las soluciones de la ecuación dada son $$\begin{aligned}&x_1=y_1-1=2,\\
    &x_2=y_2-1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\\
    &x_3=y_3-1=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.\end{aligned}$$
  2. Tenemos $p=-12,$ $q=16,$ por tanto $$\alpha=\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\ldots=\sqrt[3]{-8},$$ $$\beta=\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\ldots=\sqrt[3]{-8},$$ Para $\alpha_1=-2$ y $\beta_1=-2$ obtenemos $\alpha_1\beta_1=4=-p/3,$ luego las soluciones de la ecuación dada son $$\begin{aligned}&x_1=\alpha_1+\beta_1=-4,\\
    &x_2=\alpha_1\epsilon+\beta_1\epsilon^2=-2\cdot\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}-2\cdot\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}=2,\\
    &x_3=\alpha_1\epsilon^2+\beta_1\epsilon=-2\cdot\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}-2\cdot \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}=2.\end{aligned}$$
  3. Recordemos el siguiente resultado teórico:
    Teorema. Sea la ecuación de tercer grado $y^3+py+q=0$ con $p,q$ reales y sea $$D=-4p^3-27q^2=-108\left(\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\right)$$ su discriminante. Entonces,
    $(i)\;$ Si $D<0,$ la ecuación tiene una solución real y dos imaginarias conjugadas.
    $(ii)\;$ Si $D=0,$ todas las soluciones son reales siendo dos de ellas iguales entre sí.
    $(iii)\;$ Si $D>0,$ la ecuación tiene tres soluciones reales distintas. $\quad\square$
    $(a)\;$ Efectuando la sustitución $x=y-1$ obtenemos $y^3-6y-9=0,$ es decir $p=-6,$ $q=-9.$ El discriminante es $$D=-108\left(\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}\right)=-108\left(\dfrac{81}{4}-\dfrac{216}{27}\right)<0.$$ La ecuación tiene una solución real y dos imaginarias conjugadas.
    $(b)\;$ Tenemos $p=-12,$ $q=16,$ por tanto $$D=-108\left(\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}\right)=-108\left(\dfrac{256}{4}-\dfrac{216}{27}\right)=0.$$ Todas las soluciones son reales siendo dos de ellas iguales entre sí.
    $(c)\;$ Tenemos $p=-10,$ $q=30,$ por tanto $$D=-108\left(\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}\right)=-108\left(\dfrac{900}{4}-\dfrac{1000}{27}\right)>0.$$ La ecuación tiene tres soluciones reales distintas.
  4. Tenemos $$\left(y-\dfrac{a}{3}\right)^3+a\left(y-\dfrac{a}{3}\right)^2+b\left(y-\dfrac{a}{3}\right)+c=0$$ $$\Leftrightarrow y^3-ay^2+\frac{a^2}{3}y-\frac{a^3}{27}+ay^2-\frac{2a^2}{3}y+\frac{a^3}{9}+by-\frac{ab}{3}y+c=0.$$ Los términos de segundo grado se cancelan, en consecuencia la ecuación anterior es de la forma $y^3+py+q=0.$
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