Ecuación de tercer grado

Estudiamos el método de resolución de la ecuación de tercer grado o cúbica.

  1. Definición. Se llama ecuación cúbica o de tercer grado a toda ecuación de la forma $$x^3+ax^2+bx+c=0,\; (a,b,c\in\mathbb{C}).$$

  2. Teorema. La sustitución $x=y-a/3$ transforma la ecuación de tercer grado $x^3+ax^2+bx+c=0,$ $(a,b,c\in\mathbb{C})$ en una ecuación equivalente de la forma $$y^3+py+q=0,\; p,q\in\mathbb{C}.$$
    Demostración. Tenemos $$\left(y-\dfrac{a}{3}\right)^3+a\left(y-\dfrac{a}{3}\right)^2+b\left(y-\dfrac{a}{3}\right)+c=0$$ $$\Leftrightarrow y^3-ay^2+\frac{a^2}{3}y-\frac{a^3}{27}+ay^2-\frac{2a^2}{3}y+\frac{a^3}{9}+by-\frac{ab}{3}y+c=0.$$ Los términos de segundo grado se cancelan, en consecuencia la ecuación anterior es de la forma $y^3+py+q=0.$ $\qquad\square$

  3. Nota. El teorema anterior reduce el calculo de las soluciones de la ecuación de tercer grado al cálculo de las soluciones de la ecuación $x^3+px+q=0,$ $p,q\in\mathbb{C}.$

  4. Teorema. Sea la ecuación $$(E):\quad x^3+px+q=0\text{ con } p,q\in\mathbb{C}.$$ Entonces,
    $1)$ Las soluciones de esta ecuación son $$x=\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\beta}$$ siempre y cuando $\alpha\beta=-p/3.$
    $2)$ Sean $1,\epsilon,\epsilon^2$ las raíces cúbicas de la unidad, es decir $$1,\quad\epsilon=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2},\quad\epsilon^2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}.$$ Supongamos que $\alpha_1$ y $\beta_1$ son valores de $\alpha$ y $\beta$ respectivamente tales que $\alpha_1\beta_1=-p/3.$ Entonces, las soluciones de la ecuación dada son $$\begin{aligned}& x_1=\alpha_1+\beta_1\\
    & x_2=\alpha_1\epsilon+\beta_1\epsilon^2\\
    & x_3=\alpha_1\epsilon^2+\beta_1\epsilon.\end{aligned}$$
    Demostración. $1)$ Por el teorema fundamental del álgebra, la ecuación $(E)$ tiene tres soluciones complejas (repetidas o no). Sea $x_0$ una de estas soluciones y consideremos el polinomio $f(u)=u^2-x_0u-p/3.$ Éste polinomio tiene dos raíces complejas $\alpha$ y $\beta$ (repetidas o no) y usando las relaciones de Cardano-Vieta: $$\left \{ \begin{matrix} \alpha +\beta=x_0\\\alpha\beta=-p/3\end{matrix}\right.\Rightarrow(\alpha+\beta)^3+p(\alpha+\beta)+q=0$$ $$\Rightarrow \alpha^3+\beta^3+(\underbrace{3\alpha \beta+p}_{=\;0})(\alpha+\beta)+q=0\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \alpha^3 +\beta^3=-q\\\alpha^3\beta^3=-p^3/27.\end{matrix}\right.$$ Los números $\alpha^3$ y $\beta^3$ son por tanto soluciones de la ecuación $z^2+qz-p^3/27=0,$ en consecuencia $$\alpha^3=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}},\quad \beta^3=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}\text{ con }\alpha\beta=-p/3,$$ lo cual demuestra el aserto $1).$
    $2)$ Tenemos tres valores para $\alpha$ y otros tres para $\beta.$ Ahora bien, ha de cumplirse necesariamente $\alpha\beta=-p/3.$ Sean $\alpha_1$ y $\beta_1$ dos valores para los cuales $\alpha_1\beta_1=-p/3$ y sean $1,\epsilon,\epsilon^2$ las tres raíces de la unidad. Los tres valores de $\alpha$ son $\alpha_1,$ $\alpha_1\epsilon$ y $\alpha_1\epsilon^2$ y los tres de $\beta$ son $\beta_1,$ $\beta_1\epsilon$ y $\beta_1\epsilon^2.$ Al ser $$(\alpha_1\epsilon)(\beta_1\epsilon^2)=\alpha_1\beta_1=-p/3,\quad (\alpha_1\epsilon^2)(\beta_1\epsilon)=\alpha_1\beta_1=-p/3,$$ las tres soluciones de $(E)$ son
    $$\begin{aligned}& x_1=\alpha_1+\beta_1\\
    & x_2=\alpha_1\epsilon+\beta_1\epsilon^2\\
    & x_3=\alpha_1\epsilon^2+\beta_1\epsilon. \qquad\square\end{aligned}$$

  5. Ejemplo. Resolvamos la ecuación tercer grado $x^3+3x^2-3x-14=0$ usando el teorema anterior. Efectuando la sustitución $x=y-1:$ $$(y-1)^3+3(y-1)^2-3(y-1)-14=0 $$ $$\Leftrightarrow y^3-6y-9=0.\qquad (*)$$ Tenemos $p=-6,$ $q=-9,$ por tanto $$\alpha= \sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{\frac{81}{4}-\frac{216}{27}}}=\sqrt[3]{\frac{9}{2}+\frac{7}{2}}=\sqrt[3]{8},\quad \beta=\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\frac{7}{2}}=\sqrt[3]{1}$$ Para $\alpha_1=2$ y $\beta_1=1$ obtenemos $\alpha_1\beta_1=2=-p/3,$ luego las soluciones de $(*)$ son $$\begin{aligned}& y_1=\alpha_1+\beta_1=3,\\
    & y_2=\alpha_1\epsilon+\beta_1\epsilon^2=2\cdot\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\\
    & y_3=\alpha_1\epsilon^2+\beta_1\epsilon=2\cdot\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.\end{aligned}$$ En consecuencia, las soluciones de la ecuación dada son $$\begin{aligned}& x_1=y_1-1=2,\\
    &x_2=y_2-1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\\
    &x_3=y_3-1=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.\end{aligned}$$

  6. Ejemplo. Resolvamos la ecuación tercer grado $x^3-12x+16=0.$ Tenemos $p=-12,$ $q=16,$ por tanto $$\alpha=\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\ldots=\sqrt[3]{-8},$$ $$\beta=\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\ldots=\sqrt[3]{-8},$$ Para $\alpha_1=-2$ y $\beta_1=-2$ obtenemos $\alpha_1\beta_1=4=-p/3,$ luego las soluciones de la ecuación dada son $$\begin{aligned}& x_1=\alpha_1+\beta_1=-4,\\
    & x_2=\alpha_1\epsilon+\beta_1\epsilon^2=-2\cdot\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}-2\cdot\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}=2,\\
    & x_3=\alpha_1\epsilon^2+\beta_1\epsilon=-2\cdot\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}-2\cdot \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}=2.\end{aligned}$$

  7. Teorema. Sea la ecuación de tercer grado $x^3+px+q=0$ con $p,q$ reales. Al número $$D=-4p^3-27q^2=-108\left(\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\right)$$ se le llama discriminante de la ecuación.. Entonces,
    $(i)\;$ Si $D < 0,$ la ecuación tiene una solución real y dos imaginarias conjugadas.
    $(ii)\;$ Si $D=0,$ todas las soluciones son reales siendo dos de ellas iguales entre sí.
    $(iii)\;$ Si $D > 0,$ la ecuación tiene tres soluciones reales distintas.
    Demostración. $(i)\;$ Si $D < 0$ entonces, $q^2/4+p^3/27 > 0$ y por tanto $-q/2\pm\sqrt{q^2/4+p^3/27}\in\mathbb{R}.$ Tenemos $$\alpha=\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},\quad \beta=\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$ con lo cual $\alpha$ tiene un valor real y dos imaginarios conjugados (idem para $\beta$). Sea $\alpha_1$ el valor de $\alpha.$ Una solución de la ecuación es $x_1=\alpha_1+\beta_1$ y al ser $\alpha_1\beta_1=-p/3,$ $\beta_1$ es necesariamente el valor real de $\beta.$ Obsérvese que si $p=0,$ entonces $q\ne 0,$ la ecuación es $x^3+q=0$ y ya estaría demostrado. Las otras dos raíces son $$x_2=\alpha_1\epsilon +\beta_1\epsilon^2=-\dfrac{\alpha_1+\beta_1}{2}+i\sqrt{3}\dfrac{\alpha_1-\beta_1}{2}$$ $$x_2=\alpha_1\epsilon^2 +\beta_1\epsilon=-\dfrac{\alpha_1+\beta_1}{2}-i\sqrt{3}\dfrac{\alpha_1-\beta_1}{2}$$ y al ser $\alpha_1\ne \beta_1,$ entonces $x_2,x_3$ son imaginarias conjugadas.
    $(ii)\;$ Si $D=0,$ entonces $\alpha=\sqrt [3]{-q/2}$ y $\beta=\sqrt [3]{-q/2}.$ Si $q=0$, entonces $p=0$ y la ecuación es $x^3=0$ que tiene a $x=0$ como solución triple. Si $q\ne 0,$ sean $\alpha_1$ y $\beta_1$ los valores reales de $\alpha$ y $\beta.$ Como $\alpha\beta=-p/3$ (real), necesariamente $\alpha_1\beta_1=-p/3.$ Pero además, $\alpha_1=\beta_1.$ Entonces, las soluciones de la ecuación son $$x_1=2\alpha_1,\quad x_2=\alpha_1 \epsilon +\alpha_1\epsilon^2=\alpha_1 \epsilon^2 +\alpha_1\epsilon=x_3$$ es decir, en cualquier caso la ecuación tiene tres soluciones reales, una de ellas al menos doble.
    $(iii)\;$ Si $D > 0$ entonces entonces, $q^2/4+p^3/27 < 0$ y por tanto todos los valores de $\alpha$ y $\beta$ son imaginarios. Al ser la ecuación de tercer grado y con coeficientes reales, ha de tener al menos un solución real $x_1=\alpha_1+\beta_1.$ Como $\alpha_1\beta_1=-p/3$ (real), entonces $\alpha_1$ y $\beta_1$ son soluciones de una ecuación de segundo grado con coeficientes reales, es decir $\alpha_1$ y $\beta_1$ son conjugados entre sí. Pero también lo son $\alpha_1\epsilon$ y $\beta_1\epsilon^2$ pues $\overline{\alpha_1\epsilon}=\overline{\alpha_1}\;\overline{\epsilon}=\beta_1 \epsilon^2.$ De la misma forma, también son conjugados $\alpha_1\epsilon^2$ y $\beta_1\epsilon.$ Por tanto las tres soluciones de la ecuación $x_1=\alpha_1+\beta_1,$ $x_2=\alpha_1\epsilon+\beta_1\epsilon^2$ y $x_2=\alpha_1\epsilon^2+\beta_1\epsilon$ son reales. Veamos que son distintas. Denotemos ahora por $a,b,c$ a las tres soluciones reales de la ecuación, entonces son suma de $\alpha$ y $\beta$ con $$\alpha=\alpha_1\text{ ó }\alpha_1\epsilon\text{ ó } \alpha_1\epsilon^2,\quad \beta=\beta_1\text{ ó }\beta_1\epsilon\text{ ó } \beta_1\epsilon^2.$$ Supongamos que ocurriera $a=b$ y sea $c=\alpha_1^\prime+\beta_1^\prime.$ Entonces, $a=\alpha_1^\prime\epsilon+\beta_1^\prime\epsilon^2$ y $b=\alpha_1^\prime\epsilon^2+\beta_1^\prime\epsilon.$ Esto implicaría $\alpha_1^\prime(\epsilon-\epsilon^2)=\beta_1^\prime (\epsilon-\epsilon^2),$ es decir, $\alpha_1^\prime=\beta_1^\prime .$ Pero esto es absurdo pues $\alpha_1^\prime$ y $\beta_1^\prime$ son imaginarios conjugados. $\qquad\square$

  8. Ejemplo. Consideremos la ecuación tercer grado $x^3+3x^2-3x-14=0.$ Efectuando la sustitución $x=y-1$ obtenemos $y^3-6y-9=0,$ es decir $p=-6,$ $q=-9.$ El discriminante es $$D=-108\left(\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}\right)=-108\left(\dfrac{81}{4}-\dfrac{216}{27}\right) < 0.$$ La ecuación tiene una solución real y dos imaginarias conjugadas.

  9. Ejemplo. Consideremos la ecuación tercer grado $x^3-12x+16=0.$ Tenemos $p=-12,$ $q=16,$ por tanto $$D=-108\left(\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}\right)=-108\left(\dfrac{256}{4}-\dfrac{216}{27}\right)=0.$$ Todas las soluciones son reales siendo dos de ellas iguales entre sí.

  10. Ejemplo. Consideremos la ecuación tercer grado $x^3-10x+30=0.$ Tenemos $p=-10,$ $q=30,$ por tanto $$D=-108\left(\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}\right)=-108\left(\dfrac{900}{4}-\dfrac{1000}{27}\right) > 0.$$ La ecuación tiene tres soluciones reales distintas.

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