Criterio de Eisenstein

Demostramos el criterio de Eisenstein y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
(a)  Demostrar el criterio de Eisenstein:
Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x].$ Supongamos que existe $p$ primo tal que
$\quad (i)$  $p\not\mid a_n,\;p\mid a_{n-1},\ldots,p\mid a_0.$
$\quad (ii)$  $p^2\not\mid a_0.$
Entonces,  $P(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ (como consecuencia también lo es en $\mathbb{Z}[x]$).
(b)  Demostrar que los polinomios $P(x)=x^5-2x+6$ y $Q(x)=x^7-12$ son irreducibles en $\mathbb{Q}[x].$

Solución
(a)  Por contradicción, si $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ es reducible en $\mathbb{Q}[x],$ por el lema de Gauss también es reducible en $\mathbb{Z}[x]:$ $$P(x)=\left(b_lx^l+a_{l-1}x^{l-1}+\cdots+b_0\right)\left(c_mx^m+c_{m-1}x^{m-1}+\cdots+c_0\right)$$ con $l+m=n,$ $b_i,c_i\in\mathbb{Z}.$ Igualando coeficientes del mismo grado: $$a_0=b_0c_0,\;a_1=b_1c_0+b_0c_1,\;a_2=b_2c_0+b_1c_1+b_0c_2,\:\ldots\quad (1)$$ Por hipótesis $p\mid a_0=b_0c_0$ y $p^2\not\mid a_0=b_0c_0,$ por tanto $p\mid b_0$ o $p\mid c_0$ pero no a ambos. Supongamos que $p\mid b_0$ y $p\not\mid c_0.$ Entonces, $$a_1=b_1c_0+b_0c_1\underbrace{\Rightarrow}_{p\mid a_1\text{ por hip.}} pa’_1=b_1c_0+pb’_0c_1$$ $$\Rightarrow b_1c_0=p\left(a’_1-b’_0c_1\right)\underbrace{\Rightarrow}_{p\not\mid c_0}p\mid b_1.$$ De la igualdad $a_2=b_2c_0+b_1c_1+b_0c_2$ deducimos de manera análoga que $p\mid b_2$ y de las restantes igualdades $(1),$ que $p\mid b_3,\ldots p\mid b_n.$ Esto implica que $p$ divide a todos los $a_i,$ que es una contradicción pues $p$ no divide a $a_n.$

(b)  Para el polinomio $P(x)$ elijamos $p=2.$ Entonces, $$(2\not\mid 1,\;2\mid 0,\;2\mid 0,\;2\mid 0,\;2\mid -2,\;2\mid 6)\;\wedge\;(2^2\not\mid 6)$$ por tanto, y de acuerdo con el criterio de Eisenstein,  $P(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$ Para el polinomio $Q(x)$ elijamos $p=3.$ Entonces, $$(3\not\mid 1,\;3\mid 0,\;3\mid 0,\;3\mid 0,\;3\mid 0,\;3\mid 0,\;3\mid 0,\;3\mid -12)\;\wedge\;(3^2\not\mid -12)$$ con lo cual también  $Q(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

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