Diagramas de Hasse

Publicada el febrero 10, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre diagramas de Hasse.

RESUMEN TEÓRICO

Para representar gráficamente una relación de orden $\le$ en un conjunto finito $A$ se utilizan los diagramas de Hasse como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo. En el conjunto $A=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$ se define una relación de orden mediante el diagrama:

Entonces, se conviene que todo elemento está relacionado consigo mismo y que $x\le y$ con $x\ne y$ significa:
1. En el diagrama, $x$ está por debajo de $y$.
2. Que $x$ e $y$ aparecen unidos por un segmento o una poligonal cuyos lados son todos asecendentes.

    Enunciado
  1. Consideremos el conjunto $A=\{a,b,c,d,e\}$ con la relación de orden $\le$ dada por el diagrama de Hasse:

    Escribir la relación como conjunto de pares ordenados.

  2. Consideremos el conjunto $A=\{1,2,3,4\}$ con la relación de orden $\le$ usual. Dibujar el correspondiente diagrama de Hasse.
  3. En el conjunto $A=\{a,b,c,d\}$ se considera la relación: $$\leq=\left\{(a,a),(a,b),(b,b),(b,d),(a,c),(c,c),(c,d),(a,d),(d,d)\right\}.$$ (1) Demostrar que $\leq$ es relación de orden en $A.$
    (2) Dibujar el diagrama de Hasse de la relación.
    (3) Analizar si $\leq$ es un orden total.
    (4) Determinar, si existen, los elementos máximo y mínimo.
  4. En el conjunto $A=\{a,b,c,d,e,f\}$ se considera la relación de orden dada por el diagrama de Hasse:

    (1) Analizar la existencia de máximo y mínimo.
    (2) Determinar los elementos maximales y minimales.
    (3) Determinar los subconjuntos de $A$ totalmente ordenados y con tres elementos.

    Solución
  1. Los pares $(x,y)$ de la relación, es decir los que satisfacen $x\le y$ son: $$\begin{aligned}\le &=\{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),\\
    & \quad\;\;(b,d),(b,e),(c,c),(c,d),(c,e),(d,d),(e,e)\}.
    \end{aligned}$$
  2. Claramente es

  3. (1) Se comprueba de forma sencilla que se verifican las propiedades, reflexiva, antisimétrica y transitiva.
    (2) El diagrama de Hasse de $\le$ es

    (3) No es relación de orden total pues $c\nleq b$ y $b\nleq c$.
    (4) Para todo $x\in A$ se verifica $a\le x$ y $x\le d$, por tanto $a$ es elemento mínimo y $d$ máximo.

  4. (1) No existe elemento de $A$ mayor o igual que todos los demás, ni existe elemento de $A$ menor o igual que todos los demás, por tanto no existe ni máximo ni mínimo.
    (2) Los elementos maximales de $A$ son $d$, $e$ y $f$ pues son aquellos para los que no hay ninguno mayor y los minimales son $a$ y $b$ pues son aquellos para los que no hay ninguno menor.
    (3) De acuerdo con la definición de orden total, los subconjuntos de $A$ con tres elementos y totalmente ordenados son $$\{a,c,f\},\;\{a,c,e\},\;\{a,c,d\},\;\{b,c,f\},\;\{b,c,e\},\;\{b,c,d\}.$$
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