La notación o minúscula de Landau

Prroporcionamos ejercicios sobre la notación $o$ minúscula de Landau

RESUMEN TEÓRICO

Definición (Notación $ o $ minúscula de Landau). Si para dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ ocurre $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0,$ se escribe: $$f(x)=o(g(x))\text{ cuando } x\to x_0.$$
El significado de $f(x)=o(g(x)$ cuando $x\to x_0$ es claro. Dado que $f(x)/g(x)\to 0$ cuando $x\to x_0,$ ocurre que para valores de $x$ próximos a $x_0,$ $f(x)$ es pequeño comparado con $g(x).$
Ejemplo 1. $f(x)=o(1)$ cuando $x\to 0,$ significa $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0.$
Ejemplo 2. $f(x)=o(x)$ cuando $x\to 0,$ significa $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=0.$
Ejemplo 3. $\operatorname{sen}x -x=o(x),$ cuando $x\to 0,$ pues $$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}x -x}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}-1\right)=1-1=0.$$ Ejemplo 4. Si $m>n,$ entonces $x^m=o(x^n)$ cuando $x\to 0,$ pues $$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^m}{x^n}=0.$$

Enunciado

Solución

Aplicando la regla de L’Hopital: $$\begin{aligned}
&\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}}{x^2}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen} x+x}{2x}=\left\{\frac{0}{0}\right\}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x+1}{2}=\frac{0}{2}=0.
\end{aligned}$$ Es decir, $\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}=o(x^2)$ cuando $x\to 0.$
Aplicando la regla de L’Hopital: $$\begin{aligned}
&\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x-x+\dfrac{x^3}{6}}{x^3}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}}{3x^2}=\left\{\frac{0}{0}\right\}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen} x+x}{6x}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x +1}{6}=\frac{0}{6}=0.
\end{aligned}$$ Es decir, $\operatorname{sen} x-x+\dfrac{x^3}{6}=o(x^3)$ cuando $x\to 0.$
Aplicando la regla de L’Hopital: $$\begin{aligned}
&\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-1-\dfrac{x}{4}}{x-4}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 4}\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{4}}{1}=\frac{0}{1}=0.
\end{aligned}$$ Es decir, $\sqrt{x}-1-\dfrac{x}{4}=o(x-4)$ cuando $x\to 4.$