Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos

Descomponemos un espacio vectorial como suma directa de dos núcleos.

Enunciado
Sea $T\in \text{End}_{\mathbb{K}}(E)$ y $f,g,h\in\mathbb{K}[t]$ tales que $$f(t)=g(t)h(t),\quad f(T)=0,\quad g,h\text{ primos entre sí.}$$ Demostrar que $E=\ker g(T)\oplus \ker h(T).$

Solución
Al ser $g$ y $h$ son primos entre sí, existen (lema de Bezout) polinomios $r(t)$ y $s(t)$ tales que $r(t)g(t)+s(t)h(t)=1,$ lo cual implica que $$r(T)g(T)+s(T)h(T)=I.$$ Entonces, para todo $x\in E$ se verifica $$x=r(T)g(T)x+s(T)h(T)x.$$ Veamos que el primer término de la suma anterior pertenece a $\ker h(T).$ En efecto $$h(T)r(T)g(T)x=r(T)g(T)h(T)x=r(T)\underbrace{f(T)}_{=0}x=0.$$ De la misma manera se demuestra que el segundo término pertenece a $\ker h(T),$ con lo cual $E=\ker g(T)+ \ker h(T).$ Falta demostrar que $\ker g(T)\cap \ker h(T)=\{0\}.$ Tenemos $$x\in \ker g(T)\cap \ker h(T)\Rightarrow g(T)x=0\;\wedge\;h(T)x=0$$ $$\Rightarrow x=r(T)g(T)x+s(T)h(T)x=0+0=0.$$ Concluimos que $E=\ker g(T)\oplus \ker h(T).$