Sucesiones de números reales: problemas diversos (1)

1 Sea la sucesión $a_n=\dfrac{2n+1}{7n+5}.$ Usando la definición de límite, demostrar que $\{a_n\}\to\dfrac{2}{7}$ y hallar a partir de qué término la diferencia $ \left|a_n-2/7\right|$ es menor que $0.002.$

SOLUCIÓN

2 Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[3]{n^3+2n^2}-n\right).$
Sugerencia: usar la identidad $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2).$

SOLUCIÓN

3 Demostrar que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{2^n}{n!}=0.$

SOLUCIÓN

4 Demostrar que la sucesión $a_n=\left\lfloor\dfrac{(-1)^n}{n}\right\rfloor$ no es convergente, en donde $\lfloor x\rfloor$ representa la parte entera de $x.$

SOLUCIÓN

5 Sin usar el criterio de Stolz, calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3}.$

SOLUCIÓN

6Demostrar que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=1.$

SOLUCIÓN

7 Usando el criterio de Stolz, calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n}{2^n}.$

SOLUCIÓN

8 Demostrar que para todo $p\in\mathbb{N}$ se verifica $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^{p+1}}\sum_{k=1}^nk^p=\frac{1}{p+1}.$

SOLUCIÓN

9 Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{3}{5n}+\frac{5}{10n}+\frac{7}{15n}+\cdots+\frac{2n+1}{5n^2}\right).$

SOLUCIÓN

10 Demostrar que la implicación que aparece en el criterio de la media aritmética no es reversible.

SOLUCIÓN
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