Aplicación identidad, aplicación inversa

Proporcionamos ejercicios sobre aplicación identidad y aplicación inversa.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición. Sea $A$ un conjunto. Se define la aplicación identidad de $A$ en $A$ como la aplicación que a cada elemento $a\in A$ le asigna el propio $a$. Se la denota por $I_A$. Es decir $$I_A:A\to A,\quad I_A(a)=a\quad \forall a\in A.$$ Otras formas de denotar a la aplicación identidad son $id_A,$ $1_A$ o simplemente $1$ cuando el conjunto $A$ se sobreentiende.
  • Definición. Sea $f:A\to B$ una aplicación biyectiva. Se define la aplicación inversa de $f$ y se la denota por $f^{-1}$, como la aplicación de $B$ en $A:$ $$f^{-1}:B\to A,\quad f^{-1}(b)=a\text{ si }f(a)=b.$$
  • Ejemplo. Si $A=\{x,y,z\},$ $B=\{1,2,3\}$ y $f:A\to B$ es la aplicación biyectiva $$f(x)=2,\;f(y)=3,\;f(z)=1$$ entonces, $f^{-1}:B\to A$ es $$f^{-1}(1)=z,\;f^{-1}(2)=x,\;f^{-1}(3)=y.$$
  • Nota. Si $f:A\to B$ es biyectiva, entonces la aplicación inversa $f^{-1}:B\to A$ está bien definida, pues debido a la biyectividad de $f$, para cada $b\in B$ existe un único $a\in A$ tal que $f(a)=b$.
  • Propiedades. Sea $f:A\to B$ es biyectiva, entonces:
    $(i)\;$ $f^{-1}$ es biyectiva.
    $(ii)\;$ $I_B\circ f=f=f\circ I_A.$
    $(iii)\;$ $f^{-1}\circ f=I_A,\;f\circ f^{-1}=I_B.$
    Enunciado
  1. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=-3x+2$ es biyectiva y determinar $f^{-1}$.
  2. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=-x^3+4$ es biyectiva y determinar $f^{-1}$.
  3. Sea $f:A\to B$ biyectiva. Demostrar que
    $(i)$ $f^{-1}$ es biyectiva.
    $(ii)$ $I_B\circ f=f=f\circ I_A.$
    $(iii)$ $f^{-1}\circ f=I_A,\;f\circ f^{-1}=I_B.$
    Solución
  1. Para todo $x_1,x_2\in\mathbb{R}:$ $$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow -3x_1+2=-3x_2+2\Rightarrow -3x_1=-3x_2\Rightarrow x_1=x_2,$$ es decir, $f$ es inyectiva. Sea $y\in\mathbb{R}$ genérico. Entonces, $$\exists x\in\mathbb{R}:f(x)=y\Leftrightarrow \exists x\in\mathbb{R}:-3x+2=y.$$ La última ecuación tiene la solución $x=\dfrac{2-y}{3}\in\mathbb{R}$. La aplicación es sobreyectiva. Concluimos pues que $f$ es biyectiva.Por definición de aplicación inversa, $f^{-1}(y)=x$ si $y=f(x),$ por tanto $f^{-1}(y)=\dfrac{2-y}{3},$ que equivale a: $$f^{-1}(x)=\dfrac{2-x}{3}.$$
  2. Para todo $x_1,x_2\in\mathbb{R}:$ $$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow -x_1^3+4=-x_2^3+4 \Rightarrow x_1^3=x_2^3\Rightarrow \sqrt[3]{x_1^3}=\sqrt[3]{x_2^3}\Rightarrow x_1=x_2,$$ es decir, $f$ es inyectiva. Sea $y\in\mathbb{R}$ genérico. Entonces $$\exists x\in\mathbb{R}:f(x)=y\Leftrightarrow \exists x\in\mathbb{R}:-x^3+4=y.$$La última ecuación tiene la solución $x=\sqrt[3]{4-y}\in\mathbb{R}$. La aplicación es sobreyectiva. Concluimos pues que $f$ es biyectiva.Por definición de aplicación inversa, $f^{-1}(y)=x$ si $y=f(x),$ por tanto $f^{-1}(y)=\sqrt[3]{4-y},$ que equivale a: $$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{4-x}.$$
  3. $(i)$ Sean $y_1,y_2\in B$. Existen $x_1,x_2\in A$ tales que $f(x_1)=y_1,$ $f(x_2)=y_2,$ lo cual equivale a $f^{-1}(y_1)=x_1,$ $f^{-1}(y_2)=x_2.$ Entonces: $$f^{-1}(y_1)=f^{-1}(y_2)\Rightarrow x_1=x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow y_1=y_2$$ es decir, $f^{-1}$ es inyectiva. Sea $x\in A$ y llamemos $y=f(x)$. Por definición de inversa, $x=f^{-1}(y)$ y por tanto $f^{-1}$ es sobreyectiva. Concluimos que $f^{-1}$ es biyectiva.
    $(ii)$ Tenemos $$A\stackrel{f}{\longrightarrow}B \stackrel{I_B}{\longrightarrow} B$$ y además para todo $x\in A:$ $(I_B\circ f)(x)=I_B\left(f(x)\right)=f(x).$ lo cual implica $I_B\circ f=f.$
    Por otra parte $$A\stackrel{I_A}{\longrightarrow}A \stackrel{f}{\longrightarrow} B$$ y además para todo $x\in A:$ $(f\circ I_A)(x)=f\left(I_A(x)\right)=f(x).$ lo cual implica $f\circ I_A=f.$
    $(iii)$ Tenemos $A\stackrel{f}{\longrightarrow}B \stackrel{f^{-1}}{\longrightarrow} A.$ Sea $x\in A$ y llamemos $y=f(x).$ Entonces, $(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}\left(f(x)\right)=f^{-1}(y)=x,$ lo cual implica $f^{-1}\circ f=I_A.$
    Por otra parte $B\stackrel{f^{-1}}{\longrightarrow}A \stackrel{f}{\longrightarrow} B.$ Sea $y\in B$ y sea $x\in A$ tal que $y=f(x).$ Entonces, $(f\circ f^{-1})(y)=f\left(f^{-1}(y)\right)=f(x)=y,$ lo cual implica $f\circ f^{-1}=I_B.$
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