Derivadas infinitas y laterales

Proporcionamos ejercicios sobre derivadas infinitas y laterales.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar $f’_+(0)$ si $f(x)=\sqrt{x}.$
  2. Hallar $f’_+(0)$ y $f’_-(0)$ si $f(x)=\left|\operatorname{sen}2x\right|.$
  3. Calcular $ f’(x)$, siendo $ f(x)=\left \{ \begin{matrix} 3x^2+x & \mbox{ si }& x\geq 1\\7x-3 & \mbox{si}& x<1.\end{matrix}\right.$
  4. Calcular (cuando exista) $f’(x)$, siendo $f(x)=\left|x\right| .$
  5. Se considera la función $$ f(x)=\left \{ \begin{matrix}{x^3\textrm{sen}\;\dfrac{1}{x}}&\mbox{ si }& x\neq 0 \\ 0 & \mbox{si}& x=0.\end{matrix} \right.$$ $(a)$ Demostrar que $f$ es derivable en $\mathbb{R}.$
    $(b)$ Demostrar que $f’$ es continua pero no derivable en $0.$
  6. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función $$f(x)=\sqrt{x\lfloor x \rfloor}-\lfloor x \rfloor$$ en $x=1$, en donde $\lfloor x \rfloor$ denota la parte entera de $ x.$
  7. Demostrar que las funciones: $$1)\; f(x)=\sqrt[3]{x},\quad\;2)\;g(x)=\left \{ \begin{matrix} 1/x& \mbox{ si }& x\neq 0\\0 & \mbox{ si }&x=0,\end{matrix}\right.$$ tienen en el punto $x=0$ derivada infinita.
    Solución
  1. $$f’_+(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{1}{\sqrt{h}}=+\infty.$$
  2. $$f’_+(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{\left|\operatorname{sen}2h\right|}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{\operatorname{sen}2h}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{2h}{h}=2.$$ $$f’_-(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\dfrac{\left|\operatorname{sen}2h\right|}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\dfrac{-\operatorname{sen}2h}{h}\\
    =\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\dfrac{-2h}{h}=-2.$$
  3. Primer caso: $ x>1$. Existe un intervalo abierto que contiene a $ x$ en el cual la función es elemental. Aplicando las conocidas reglas de derivación, $ f’(x)=6x+1$.
    Segundo caso: $ x<1$. Existe un intervalo abierto que contiene a $ x$ en el cual la función es elemental. Aplicando las conocidas reglas de derivación, $ f’(x)=7$.
    Tercer caso: $ x=1$. En todo intervalo abierto que contiene a $1$ la función no es elemental. Aplicamos pues la definición de derivada. La función a la derecha y a la izquierda de $1$ está expresada por fórmulas distintas, por tanto hallamos las derivadas por la derecha y por la izquierda. $$ \displaystyle\begin{aligned}&f’_+(1)=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{3(1+h)^2+(1+h)-4}{h}\\&=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{3h^2+7h}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}(3h+7)=7.\end{aligned}$$ $$ \displaystyle\begin{aligned}&f’_-(1)=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\&=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\dfrac{7(1+h)-3-4}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}7=7.\end{aligned}$$ Existe por tanto $f’(1)$ y es igual a $ 7$. Podemos pues concluir que $$ f’(x)=\left \{ \begin{matrix}{ 6x+1}&\mbox{ si }& x\geq 1\\ 7 & \mbox{si}& x<1.\end{matrix} \right.$$
  4. Sabemos que la función valor absoluto está definida por $$ f(x)=\left|x\right|=\left \{ \begin{matrix}{\;\;x}&\mbox{ si }& x\geq 0\\ -x & \mbox{si}& x<0.\end{matrix} \right.$$ Primer caso: $x>0$. Existe un intervalo abierto que contiene a $x$ en el cual la función es elemental. Aplicando las conocidas reglas de derivación, $f’(x)=1$.
    Segundo caso: $x>0$. Existe un intervalo abierto que contiene a $x$ en el cual la función es elemental. Aplicando las conocidas reglas de derivación, $f’(x)=-1$.
    Tercer caso: $x=0$. En todo intervalo abierto que contiene a $0$ la función no es elemental. Aplicamos pues la definición de derivada. La función a la derecha y a la izquierda de $0$ está expresada por fórmulas distintas, por tanto hallamos las derivadas por la derecha y por la izquierda. $$ \displaystyle\begin{aligned}f’_+(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{h}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}1=1.\end{aligned}$$ $$ \displaystyle\begin{aligned}f’_-(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\dfrac{-h}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}-1=-1\end{aligned}$$ No coinciden las derivadas por la derecha y por la izquierda de $f$ en $0$, por tanto no existe $f’(0).$ Podemos pues concluir que $$ f’(x)=\left \{ \begin{matrix}{\;\; 1}&\mbox{ si }& x>0\\ -1 & \mbox{si}& x<0.\end{matrix} \right.$$
  5. $(a)$ Primer caso: $x\neq 0$. Existe un intervalo abierto que contiene a $x$ en el cual la función es elemental. Aplicando las conocidas reglas de derivación: $$ f’(x)=3x^2\textrm{sen}\;\dfrac{1}{x}+x^3\left(\cos \dfrac{1}{x}\right) \dfrac{-1}{x^2}=3x^2\textrm{sen}\;\dfrac{1}{x}-x\cos \dfrac{1}{x}.$$ Segundo caso: $x=0$. En todo intervalo abierto que contiene a $0$ la función no es elemental. Aplicamos pues la definición de derivada. $$ \displaystyle\begin{aligned}f’(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{h^3\textrm{sen}\;(1/h)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}h^2\textrm{sen}\;(1/h)=0.\end{aligned}$$ Hemos usado que el límite de una función que tiende a cero por otra acotada, también tiende a $0.$ La función $f$ es derivable en $\mathbb{R}$ y además $$ f’(x)=\left \{ \begin{matrix} 3x^2\textrm{sen}\;\dfrac{1}{x}-x\cos \dfrac{1}{x} & \mbox{ si }& x\neq 0\\0& \mbox{si}& x=0.\end{matrix}\right.$$ $(b)$ Aplicando la propiedad anteriormente mencionada: $$\displaystyle\lim_{x \to 0}f’(x)=\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(3x^2\textrm{sen}\;\dfrac{1}{x}-x\cos \dfrac{1}{x}\right)=0=f’(0).$$ Es decir, $f’$ es continua en $0.$ Veamos que $ f’$ no es derivable en $0$. $$ \displaystyle\begin{aligned}&f^{\prime\prime}(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f’(0+h)-f’(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{3h^2\textrm{sen}\;(1/h)-h\cos (1/h)}{h}\\
    &=\displaystyle\lim_{h \to 0}\left(3h\textrm{sen}\;(1/h)-\cos (1/h)\right).\end{aligned}$$ Ahora bien, si $h\to 0$ entonces $3h\textrm{sen}\;(1/h)\to 0$ y $\cos (1/h)$ es oscilante, en consecuencia no existe $f^{\prime\prime}(0).$
  6. En el intervalo abierto $(0,2)$ la función $\lfloor x \rfloor$ está definida por $$\lfloor x \rfloor=\left \{ \begin{matrix}0 & \mbox{ si }& 0<x<1\\1& \mbox{si}& 1\leq x<2.\end{matrix}\right.$$ Por tanto $$f(x)=\left \{ \begin{matrix}0 & \mbox{ si }& 0<x<1\\\sqrt{x}-1& \mbox{si}& 1\leq x<2.\end{matrix}\right.$$ Se verifica $$\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)= \lim_{x\to 1^-}0 =0,$$ $$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)= \lim_{x\to 1^+}(\sqrt{x}-1) =0,$$ en consecuencia $\lim_{x\to 1}f(x)=0=f(1),$ por tanto $f$ es continua en $ x=1.$ Veamos si derivable en ese punto. $$\displaystyle\begin{aligned}f’_+(1)&=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\&=\displaystyle\lim_{h \to 0^+} \dfrac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\&=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\dfrac{1}{2}.\end{aligned}$$ $$\displaystyle\begin{aligned}f’_-(1)&=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}\dfrac{0}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^-} 0=0.\end{aligned}$$ Dado que $f’_+(1)\neq f’_-(1) $ concluimos que $f$ no es derivable en $ x=1.$
  7. $1)$ $f’(0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{h}}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{\sqrt[3]{h^2}}=+\infty.$
    $2)$ $g’(0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{g(h)-g(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{1/h}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h^2}=+\infty.$
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