Concepto de aplicación lineal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de aplicación lineal.

TEORÍA

1 Demostrar que la aplicación   $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]$ dada por $f(p)=p’$ (derivada de $p$), es lineal.

SOLUCIÓN

2 Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo. Demostrar que la siguiente aplicación es lineal $$f:\mathbb{K}^{m\times n}\to \mathbb{K}^{n\times m},\quad f(X)=X^T\text{ (traspuesta de }X). $$

SOLUCIÓN

3 Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ matriz fija dada. Demostrar que aplicación $$f:\mathbb{K}^{n\times n}\to \mathbb{K}^{n\times n},\quad f(X)=AX-XA$$ es lineal.

SOLUCIÓN

4 Sea $\mathcal{C}[a,b]$ el espacio vectorial real de las funciones reales $x(t),$ continuas en el intervalo $[a,b].$ Estudiar si es lineal la aplicación:$$f:\mathcal{C}[a,b]\to \mathbb{R},\quad f\left(x(t)\right)=\int_a^bx(t)\;dt.$$

SOLUCIÓN

5 Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A\in \mathbb{K}^{m\times n}$ matriz fija dada. Estudiar si es lineal la aplicación $$f:\mathbb{K}^{m\times n}\to \mathbb{K}^{m\times n},\quad f(X)=A+X.$$

SOLUCIÓN

6 Sea $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ la aplicación $f(x,y,z)=(x+1,x+2y+3z).$ Analizar si es lineal.

SOLUCIÓN

7 Sea $\mathbb{C}$ el espacio vectorial de los números complejos sobre el cuerpo $\mathbb{C}.$ Analizar si es lineal la aplicación $$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C},\quad f(z)=\bar{z}\quad \text{ (conjugado de } z).$$ Ídem considerando $\mathbb{C}$ como espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN

8 Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal y $S=\{v_1,\ldots,v_p\}\subset E$ un sistema ligado. Demostrar que $f(S)$ también es ligado.

SOLUCIÓN

9 Dar un ejemplo de una aplicación lineal $f:E\to F$ que transforme un sistema libre de $S$ en un sistema ligado de $F.$

SOLUCIÓN

10 Determinar el conjunto de todas las aplicaciones lineales $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ considerado $\mathbb{R}$ como espacio vectorial sobre sí mismo.

SOLUCIÓN

11  Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $\mathbb{K}$ y $f:E\to F$ una aplicación. Demostrar que: $$f \text{ es lineal }\Leftrightarrow f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)\quad \forall \lambda ,\mu\in \mathbb{K},\;\forall x,y\in E.$$

SOLUCIÓN

12  Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que,

$1)\;f(0)=0.$
$2)\;f(-x)=-f(x)\;\;\forall x\in E.$
$3)\;f(x-y)=f(x)-f(y)\;\forall x,y\in E$

SOLUCIÓN

13 Sea $E=\mathcal{C}\left(\mathbb{R}^+\right)$ el espacio vectorial real de las funciones reales continuas $f$ definidas en $\mathbb{R}^+.$ Sea $T:E\to E$ la aplicación  $f\to T(f)=F$ definida por $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & F(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\;dt\quad (x>0)\\& F(0)=f(0). \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Demostrar que $T$ es lineal.

SOLUCIÓN

14 Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ matriz fija dada. Demostrar que aplicación $f:\mathbb{K}^{n\times n}\to \mathbb{K}^{n\times n},$  $f(X)=AX$ es lineal.

SOLUCIÓN
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