Series con factoriales en el denominador

Proporcionamos ejemplos de cálculo de suma de series con factoriales en el denominador.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n^2+2n+6}{(n+2)!}.$
  2. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+5n+1}{n!}.$
  3. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+3n+1}{(n+5)!}.$
    Solución
  1. Descomponemos el numerador en la forma $$3n^2+2n+6=A_2(n+2)(n+1)+A_1(n+2)+A_0.$$ Trivialmente, $A_2=3,$ y dando a $n$ los valores $-2$ y $-1$ obtenemos $A_1=-7$ y $A_0=14.$ Usando el teorema del álgebra de series: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n^2+2n+6}{(n+2)!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3(n+2)(n+1)-7(n+2)+14}{(n+2)!}$$ $$=3\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)!}-7\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n+2)}{(n+2)!}+14\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)!}$$ $$=3\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n!}-7\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)!}+14\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)!}$$ $$=3\left(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)-7\left(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots\right)$$ $$+14\left(\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots\right)=3(e-1)-7(e-2)+14(e-5/2)$$ $$=10e-24.$$
  2. Descomponemos el numerador en la forma $$n^2+5n+1=A_2n(n-1)+A_1n+A_0.$$ Trivialmente, $A_2=1,$ y dando a $n$ los valores $0$ y $1$ obtenemos $A_1=6$ y $A_0=1.$ Usando el teorema del álgebra de series: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+5n+1}{n!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n(n-1)+6n+1}{n!}$$ $$=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n(n-1)}{n!}+6\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n!}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n!}$$ $$=\left(0+1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)+6\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)$$ $$+\left(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)=e+6e+e-1=8e-1.$$
  3. Descomponemos el numerador en la forma$$2n^2+3n+1=A_2(n+5)(n+4)+A_1(n+5)+A_0.$$Trivialmente, $A_2=2,$ y dando a $n$ los valores $-5$ y $-4$ obtenemos $A_1=-15$ y $A_0=36.$ Usando el teorema del álgebra de series:$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+3n+1}{(n+5)!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(n+5)(n+4)-15(n+5)+36}{(n+5)!}$$$$=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n+5)(n+4)}{(n+5)!}-15\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n+5)}{(n+5)!}+36\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+5)!}$$$$=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+3)!}-15\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+4)!}+36\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+5)!}$$$$=2\left(\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots\right)-15\left(\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots\right)+36\left(\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}+\cdots\right)$$$$=2\left(e-1-\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)-15\left(e-1-\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right)$$$$+36\left(e-1-\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\right)$$$$=23e-\frac{7501}{120}.$$
Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.