Fórmulas integrales de Cauchy

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular $(a)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=3}\frac{e^z}{z-2}dz.\quad (b)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=1}\frac{e^z}{z-2}dz.$
  2. Calcular $(a)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=1}\frac{\operatorname{sen}^6z}{z-\pi/6}dz.\quad (b)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=2}\frac{e^{iz}}{z^3}dz.$
  3. Calcular $\displaystyle\int_{C}\frac{e^{2z}}{z+\pi i}dz,$ si $C$ es
    $(a)\;$ La circunferencia $\left|z-1\right|=4.$ $(b)\;$ La elipse $\left|z-2\right|+\left|z+2\right|=6.$
    Solución
  1. $(a)$ La función $f(z)=e^z$ es analítica en $\mathbb{C},$ por tanto en $\mathcal{R}\equiv\left|z\right|\leq 3$ y $2$ es interior a $\mathcal{R}.$ Aplicando la fórmula integral de Cauchy, $$\int_{\left|z\right|=3}\frac{e^z}{z-2}dz=2\pi i \;f(2)=2\pi e^2i.$$ $(b)$ La función $g(z)=e^z/(z-2)$ es analítica en $\mathcal{R}’\equiv\left|z\right|\leq 1.$ Aplicando el teorema de Cauchy-Goursat, $$\int_{\left|z\right|=1}\frac{e^z}{z-2}dz=0.$$
  2. $(a)$ La función $f(z)=\operatorname{sen}^6z$ es analítica en $\mathbb{C},$ por tanto en $\mathcal{R}\equiv\left|z\right|\leq 1$ y $\pi/6$ es interior a $\mathcal{R}.$ Aplicando la fórmula integral de Cauchy, $$\int_{\left|z\right|=1}\frac{\operatorname{sen}^6z}{z-\pi/6}dz=2\pi if(\pi/6)=2\pi i\operatorname{sen}^6(\pi/6)=\frac{\pi}{32}i.$$ $(b)$ La función $f(z)=e^{iz}$ es analítica en $\mathbb{C},$ por tanto en $\mathcal{R}\equiv\left|z\right|\leq 2$ y $0$ es interior a $\mathcal{R}.$ Tenemos $f’(z)=ie^{iz},$ $f^{\prime\prime}(z)=-e^{iz},$ luego $f^{\prime\prime}(0)=-1$ Aplicando la fórmula integral de Cauchy, $$\int_{\left|z\right|=2}\frac{e^{iz}}{z^3}dz=\frac{2\pi}{2!} if^{\prime\prime}(0)=2\pi i\operatorname{sen}^6(\pi/6)=-\pi i.$$
  3. $(a)$ La función $f(z)=e^{2z}$ es analítica en $\mathbb{C},$ por tanto en $\mathcal{R}\equiv\left|z-1\right|\leq 4$ y $-\pi i$ es interior a $\mathcal{R}$ pues $$\left|-\pi i-1\right|=\sqrt{\pi^2+1}<4.$$ Aplicando la fórmula integral de Cauchy, $$\int_{C}\frac{e^{2z}}{z+\pi i}dz=2\pi i \;f(-\pi i)=2\pi ie^{-2\pi i}=2\pi i.$$ $(b)\;$ El punto $-\pi i$ es exterior a $\mathcal{R}\equiv \left|z-2\right|+\left|z+2\right|=6$ pues $$\left|-\pi i-2\right|+\left|-\pi i+2\right|=\sqrt{\pi^2+4}+\sqrt{\pi^2+4}>6.$$ En consecuencia, la función $f(z)=e^{2z}/(z+\pi i)$ es analítica en $\mathcal{R}.$ Aplicando el teorema Cauchy-Goursat, $$\int_{C}\frac{e^{2z}}{z+\pi i}dz=0.$$
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