Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$

Proporcionamos una aplicación del teorema de Casorati-Weierstrass al estudio de los tipos de singularidad de la función $1/f.$

Enunciado
Sea $U\subset \mathbb{C}$ abierto y $f:U\setminus\{a\}\to\mathbb{C}$ analítica, con singularidad esencial en $a$ y que no se anula en $:U\setminus\{a\}.$
(a)  Usando el teorema de Casorati-Weierstrass, estudiar el tipo de singularidad que presnta  $1/f$ en $a.$
(b)  Verificar el resultado anterior para la función  $f(z)=e^{1/z},$ mediante desarrollos en serie de Laurent en una corona de centro $0.$

Solución
(a)  Recordemos el teorema de Casorati-Weierstrass:
Sea $f(z)$  analítica en $0<\left|z-a\right|<R$ y $a$ una singularidad esencial de $f(z).$ Entonces, $\forall w\in\mathbb{C},$ $\forall \epsilon >0,$ $\forall \delta >0,$ existe un $z\in\mathbb{C}$ tal que $0<\left|z-a\right|<\delta$ y $\left|f(z)-w\right|<\epsilon.$ Es decir, en un entorno de una singularidad esencial, la función toma valores arbitrariamente próximos a cualquier número complejo.

Existen por tanto dos sucesiones $\{z_n\}$ y $\{w_n\}$ en $U\setminus\{a\}$ tales que $$\lim_{n\to +\infty}z_n=a,\quad \lim_{n\to +\infty}f(z_n)=0,$$ $$\lim_{n\to +\infty}w_n=a,\quad \lim_{n\to +\infty}\left|f(w_n)\right|=\infty.$$ Entonces, $$\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{f(z_n)}=\frac{1}{a},\quad \lim_{n\to +\infty}\left|\frac{1}{f(w_n)}\right|=0.$$ Es decir, no existe  $\lim_{z\to a}1/f(z)$ ni finito ni infinito. Por tanto, $1/f$ tiene una singularidad esencial en $a.$

(b)  El desarrollo en serie de Laurent de $f(z)=e^{1/z}$ en  $0<\left|z\right|<+\infty$ es $$f(z)=1+\frac{1/z}{1!}+\frac{1/z^2}{2!}+\frac{1/z^3}{3!}+=\cdots+\frac{1/3!}{z^3}+\frac{1/2!}{z^2}+\frac{1}{z}+1.$$ La serie de Laurent tiene infinitos términos en su parte principal, por tanto $0$ es singularidad esencial de $f.$ El desarrollo en serie de Laurent de $1/f(z)=1/e^{1/z}=e^{-1/z}$ en  $0<\left|z\right|<+\infty$ es $$\frac{1}{f(z)}=1-\frac{1/z}{1!}+\frac{1/z^2}{2!}-\frac{1/z^3}{3!}+=\cdots-\frac{1/3!}{z^3}+\frac{1/2!}{z^2}-\frac{1}{z}+1.$$ La serie de Laurent tiene infinitos términos en su parte principal, por tanto $0$ es singularidad esencial de $1/f.$

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