Polinomio de Motzkin

Demostramos que existe un polinomio en $\mathbb{R}[X,Y]$ (polinomio de Motzkin) que toma valores no negativos en $\mathbb{R}^2$ y que no es suma de cuadrados de elementos de $\mathbb{R}[X,Y].$

Enunciado
Se llama polinomio de Motzkin al polinomio de $\mathbb{R}[X,Y]:$ $$s(X,Y)=X^4Y^2+X^2Y^4-3X^2Y^2+1.$$ $\quad{}$ (1)   Demostrar que $s\ge 0,$ es decir $s(x,y)\ge 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^2.$
$\quad{}$ (2)   $s$ no es suma de cuadrados en $\mathbb{R}[X,Y].$

Solución
(1)   Para $a,b,c\ge 0$ sabemos que se verifica la de desigualdad $$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}\quad\text{ si }a,b,c\ge 0.$$ Elgiendo $a=1,$ $b=x^4y^2,$ $c=x^2y^4$ queda $$\frac{1+x^4y^2+x^2y^3}{3}\ge \sqrt[3]{x^6y^6},\text{ o bien }s(x,y)\ge 0\text { para todo }(x,y)\in \mathbb{R}^2$$ es decir, el polinomio de Motzkin es no negativo.
(2)   Por contradicción. Si $s=\sum f_i^2$ para ciertos polinomios $f_i\in\mathbb{R}[X,Y],$ cada $f_i$ tiene a lo sumo grado $3$ y por tanto es combinación lineal real de $$1,\;X,\;Y,\;X^2,\; XY,\;Y^2,\;X^3,\;X^2Y,\;XY^2,\;Y^3.$$ Si $X^3$ aparece en algún $f_i,$ entonces $X^6$ aparecería en $s$ con coeficiente positivo lo cual es absurdo. Esto implica que $X^3$ no aparece en ningún $f_i.$ De manera análoga deducimos que $Y^3,$ $X^2,$ $X,$ e $Y$ no aparecen en ningún $f_i.$ Es decir los polinomios $f_i$ son de la forma $$f_i=a_i+b_iXY+c_iX^2Y+d_iXY^2.$$ Pero entonces, $\sum b_i^2=-3$ lo cual es una contradicción.

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