Derivación de integrales dependientes de un parámetro

Demostramos los teoremas de derivación de integrales dependientes de un parámetro (tanto con límites de integración constantes como variables) y proporcionamos ejemplos de aplicación.

  1. Definición. Sean $[a,b]$ y $[\alpha,\beta]$ dos intervalos reales y $$f:[a,b]\times [\alpha,\beta]\to \mathbb{R},\quad (x,\lambda) \to f(x,\lambda)$$ una función continua. Si damos a $\lambda$ un valor fijo de $[\alpha,\beta]$ obtenemos una función continua de $x$ en $[a,b]$ y su integral es una función de $\lambda$: $$I(\lambda)=\int_a^bf(x,\lambda)dx$$ que se llama integral dependiente de un parámetro.
  2. Teorema. La función $I(\lambda)$ es continua en $[\alpha,\beta]$.
    Demostración. En efecto, si $\lambda$ y $\lambda+h$ son dos puntos de $[\alpha,\beta]$ se tiene $$I(\lambda +h)-I(\lambda)=\int_a^b[f(x,\lambda+h)-f(x,\lambda)]dx.$$ Por la continuidad de $f(x,\lambda)$ en el rectángulo $[a,b]\times [\alpha,\beta]$, dado $\epsilon > 0$ existe $\delta >0$ tal que $$\left|f(x,\lambda +h)-f(x,\lambda)\right| < \frac{\epsilon}{b-a}\text{ si }|h| < \delta,$$ para todo $x\in [a,b].$ Resulta: $$|I(\lambda +h)-I(\lambda)| = \left|\int_a^b[f(x,\lambda+h)-f(x,\lambda)]dx\right|$$ $$ \le \int_a^b\left|[f(x,\lambda+h)-f(x,\lambda)]\right|dx\le \int_a^b\frac{\epsilon}{b-a}dx=\epsilon.$$ Por tanto, $I(\lambda)$ es continua en $[\alpha,\beta]$. $\quad\square$
  3. Teorema (Derivación de una integral que depende de un paramétro).
    Sea el rectángulo $D=[a,b]\times [\alpha,\beta]$. Supongamos que:
    $(1)\;\; f$ es continua en $D$.
    $(2)\;\;$ Existe $\frac{\partial f}{\partial \lambda}$ y es continua en $D$.
    Entonces, existe la derivada de $I(\lambda)=\int_a^b f(x,\lambda) dx$ en $[\alpha,\beta]$ y es igual a: $$I^\prime (\lambda)=\int_a^b\dfrac{\partial f}{\partial \lambda}dx.$$ Demostración. Aplicando el teorema del valor medio de Lagrange, $$\frac{I(\lambda+h)-I(\lambda)}{h}=\int_a^b\frac{f(x,\lambda+h)-f(x,\lambda)}{h}dx=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x,\lambda+\theta h)dx$$ con $0 < \theta <1$. Por la continuidad en el rectángulo de $f(x,h)$, podemos aplicar el teorema anterior:
    $$I^\prime (\lambda)=\lim_{h\to 0}\int_a^b\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x,\lambda+\theta h)dx=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x,\lambda)dx.\qquad \square$$
  4. Ejemplo. Calcular la integral dependiente de un parámetro $$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\left(x^2+\lambda\right)^2}\quad (\lambda >0).$$ Solución. Hallemos primero $$I(\lambda)=\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^2+\lambda}=\displaystyle\int_0^1\frac{(1/\lambda)dx}{(x^2/\lambda)+1}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\int_0^1\frac{(1/\sqrt{\lambda})dx}{(x/\sqrt{\lambda})^2+1}$$ $$=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\left[\arctan \frac{x}{\sqrt{\lambda}}\right]_0^1=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\arctan \frac{1}{\sqrt{\lambda}}.$$ Derivando $$I^\prime (\lambda)=\int_0^1\frac{\partial}{\partial\lambda}\left(\frac{1}{x^2+\lambda}\right)dx=-\int_0^1\frac{dx}{\left(x^2+\lambda\right)^2}.$$ Por tanto $$\int_0^1\frac{dx}{\left(x^2+\lambda\right)^2}=-\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\arctan \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\right).$$
    Derivando el segundo miembro de la igualdad anterior obtenemos
    $$\boxed{\int_0^1\frac{dx}{\left(x^2+\lambda\right)^2}=\frac{1}{\lambda\sqrt{\lambda}}\left(\arctan \frac{1}{\sqrt{\lambda}}+\frac{1}{(1+\lambda )\sqrt{\lambda}}\right)}$$
  5. Ejemplo. Calcular la integral dependiente del parámetro $m$ $$\int_0^1 x^m (\log x)^ndx,\quad (m\text{ y } n \text{ enteros positivos}).$$ Solución. Tenemos $$I(m)=\int_0^1 x^mdx=\frac{1}{m+1}.$$ Derivando sucesivamente,
    $$I^\prime(m)=\int_0^1 x^m (\log x) dx,\quad I^{\prime \prime}(m)=\int_0^1 x^m (\log x)^2 dx,$$ $$\ldots ,\quad I^{(n)}(m)=\int_0^1 x^m (\log x)^n dx.$$ Por otra parte, $$I(m)=\frac{1}{m+1},\quad I^\prime(m)=-\frac{1}{(m+1)^2},\quad I^{\prime\prime}(m)=\frac{2!}{(m+1)^3}$$ $$\ldots,\quad I^{(n)}(m)=\frac{(-1)^nn!}{(m+1)^{n+1}}.$$ En consecuencia, $$\boxed{\int_0^1 x^m (\log x)^ndx=\frac{(-1)^nn!}{(m+1)^{n+1}}}$$
  6. Ejemplo. Calcular la integral $$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\arctan (\sin x)}{\sin x}\;dx.$$ Solución. Ver Una integral por derivación paramétrica (1)
  7. Ejemplo. Calcular $$\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{1}{(5-3\cos x)^3}\;dx.$$ Solución. Ver Una integral por derivación paramétrica (2)
  8. Nota. Para derivar la integal impropia $\int_a^{+\infty} f(x,\lambda)dx$ respecto del parámetro $\lambda$ es necesario que las integrales $\int_a^{+\infty} f(x,\lambda)dx$ y $\int_a^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial \lambda}dx$ sean convergentes.
  9. Ejemplo. Calcular la integral dependiente del parámetro $\lambda:$ $$\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+\lambda)^{n+1}},\quad (n\text{ entero positivo y }\lambda >0).$$Solución. Consideremos $$I(\lambda)=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^2+\lambda}=\left[\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\arctan \frac{x}{\sqrt{\lambda}}\right]_0^{+\infty}=\frac{\pi}{2}\frac{1}{\lambda^{1/2}}.$$
    Derivando respecto del parámetro $\lambda$:
    $$\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+\lambda)^2}=\frac{1}{2}\frac{\pi}{2\lambda^{3/2}}.$$
    Despues de derivar $n$ veces obtenemos
    $$\boxed{\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+\lambda)^{n+1}}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot(2n)}\frac{\pi}{2\lambda^n\sqrt{\lambda}}}$$
  10. Ejemplo. Hallar la integral dependiente del parámetro $\lambda$: $$I(\lambda)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}-e^{-\lambda x}}{x}dx,\quad (\lambda >0).$$Solución. Derivando, $$I^\prime (\lambda)=\int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}dx=\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty}=\frac{1}{\lambda}.$$
    Entonces, $I(\lambda)=\log \lambda +C$. Para $\lambda=1$ obtenemos $I(1)=C$, pero $I(1)=0$ con lo cual, si $\lambda >0$,
    $$\boxed{\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}-e^{-\lambda x}}{x}dx=\log \lambda}$$
  11. Teorema (Derivación de integrales que dependen de un parámetro con límites variables).
    Sean $a(\lambda)$ y $b(\lambda)$ dos funciones definidas en el intervalo $[\lambda_0,\lambda_1]$ con $a(\lambda) \le b(\lambda)$ para todo $\lambda\in [\lambda_0,\lambda_1]$ y $f(x,\lambda)$ una función definida en el recinto $$D:\left \{ \begin{matrix} \lambda_0\le \lambda\le\lambda_1\\a(\lambda) \le x \le b(\lambda).\end{matrix}\right.$$ Supongamos que
    $(1)\;$ $f(x,\lambda)$ es continua en $D$.
    $(2)\;$ $a(\lambda)$ y $b(\lambda)$ son derivables en $[\lambda_0,\lambda_1]$.
    $(3)\;$ Existe $\frac{\partial f}{\partial \lambda}$ y es continua en $D$.
    Consideremos la función $$I(\lambda)=\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}f(x,\lambda)dx.$$
    Entonces, $I(\lambda)$ es derivable en $[\lambda_0,\lambda_1]$ y además $$I^\prime (\lambda)=\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}\frac{\partial f}{\partial \lambda}dx+f[b(\lambda),\lambda]b^\prime (\lambda)-f[a(\lambda),\lambda]a^\prime (\lambda).$$ Demostración. Tenemos $$I(\lambda +h)-I(\lambda)=\int_{a(\lambda+h)}^{b(\lambda+h)}f(x,\lambda+h)dx-\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}f(x,\lambda)dx$$ $$=\left[\int_{a(\lambda+h)}^{b(\lambda+h)}f(x,\lambda+h)dx-\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}f(x,\lambda+h)dx\right]$$$$+\left[\int _{a(\lambda)}^{b(\lambda)}f(x,\lambda+h)dx-\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}f(x,\lambda)dx\right]$$$$=\left[\int_{a(\lambda+h)}^{b(\lambda+h)}f(x,\lambda+h)dx-\int_{a(\lambda+h)}^{b(\lambda)}f(x,\lambda+h)dx\right]$$$$+\left[\int_{a(\lambda+h)}^{b(\lambda)}f(x,\lambda+h)dx-\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}f(x,\lambda+h)dx\right]$$$$+\left[\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}f(x,\lambda+h)dx-\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}f(x,\lambda)dx\right].$$ Podemos por tanto expresar $$I(\lambda +h)-I(\lambda)=\int_{b(\lambda)}^{b(\lambda+h)}f(x,\lambda+h)dx-\int_{a(\lambda)}^{a(\lambda+h)}f(x,\lambda+h)dx$$$$+\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}[f(x,\lambda+h)-f(x,\lambda)]dx.$$Aplicando el teorema del valor medio para integrales a los dos primeros sumandos y el del valor medio de Lagrange al tercero:$$\frac{I(\lambda +h)-I(\lambda)}{h}=\frac{b(\lambda +h)-b(\lambda)}{h}f\left[ b(\lambda+\theta_1h),\lambda+h\right]$$$$-\frac{a(\lambda +h)-a(\lambda)}{h}f\left[ a(\lambda+\theta_2h),\lambda+h\right]$$$$+\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}\frac{\partial }{\partial \lambda}f(x,\lambda+\theta_3h)dx,$$con $0 < \theta_i <1$ para $i=1,2,3$. Tomando límites cuando $h\to 0$ y teniendo en cuenta la continuidad de $f(x,\lambda)$ y $\frac{\partial f}{\partial \lambda}$ en $D$,$$I^\prime (\lambda)=\int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)}\frac{\partial f}{\partial \lambda}dx+f[b(\lambda),\lambda]b^\prime (\lambda)-f[a(\lambda),\lambda]a^\prime (\lambda).\qquad\square$$
  12. Ejemplo. Calcular la integral $$I(\lambda)=\int_0^\lambda \frac{\log (1+\lambda x)}{1+x^2}dx$$ derivando previamente respecto del parámetro $\lambda$.
    Solución. Usando el teorema anterior $$I^\prime (\lambda)=\int_0^\lambda \frac{x}{(1+\lambda x)(1+x^2)}dx+\frac{\log (1+x^2)}{1+\lambda^2}.$$Calculemos la integral anterior por descomposición en fracciones simples:$$\int_0^\lambda \frac{x}{(1+\lambda x)(1+x^2)}dx=-\frac{\lambda}{1+\lambda^2}\int_0^\lambda \frac{dx}{1+\lambda x}+\frac{1}{1+\lambda^2}\int_0^\lambda \frac{x+\lambda}{1+x^2}dx$$$$=\left[-\frac{\log (1+\lambda x)}{1+\lambda^2}+\frac{\log (1+x^2)}{2(1+\lambda^2)}+\frac{\lambda}{1+\lambda^2}\arctan x\right]_0^\lambda$$$$=-\frac{\log (1+\lambda^2)}{1+\lambda^2}+\frac{\log (1+\lambda^2)}{2(1+\lambda^2)}+\frac{\lambda}{1+\lambda^2}\arctan \lambda.$$Es decir,$$I^\prime (\lambda)=\frac{\log (1+\lambda^2)}{2(1+\lambda^2)}+\frac{\lambda}{1+\lambda^2}\arctan \lambda,$$
    con lo cual $$I (\lambda)=\int\left(\frac{\log (1+\lambda^2)}{2(1+\lambda^2)}+\frac{\lambda}{1+\lambda^2}\arctan \lambda\right)d\lambda.$$Efectuando el cambio $\lambda=\tan \mu$,$$I (\lambda)=\int\frac{\log (\sec^2\mu)}{2\sec^2\mu}(\sec^2\mu)d\mu+\int \dfrac{\tan \mu}{\sec^2\mu}\mu (\sec^2\mu)d\mu$$$$=\int\frac{\log (\sec^2\mu)}{2}d\mu+\int \mu (\tan \mu)d\mu$$$$=\int\frac{2\log (1/\cos \mu) }{2}+\int \mu (\tan \mu)d\mu$$$$=-\int \log (\cos \mu)d\mu+\int \mu (\tan \mu)d\mu.$$Aplicando integración por partes a la primera integral anterior con $u=\log (\cos \mu)$ y $dv=d\mu$ obtenemos$$I(\lambda)=-\mu \log (\cos \mu)-\int \mu (\tan \mu)d\mu+\int \mu (\tan \mu)d\mu$$$$-\mu \log (\cos \mu)+C=-\mu\cdot -\frac{\log (\sec^2\mu)}{2}+C$$$$=\frac{1}{2}(\arctan \lambda)\log (1+\lambda^2)+C.$$Para $\lambda=0$, $I(0)=0+C$ y sustituyendo $\lambda=0$ en la integral inicial obtenemos $I(0)=0$, luego $C=0$. En consecuencia,$$\boxed{\int_0^\lambda \frac{\log (1+\lambda x)}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}(\arctan \lambda)\log (1+\lambda^2)}$$
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