Concepto de anillo

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de anillo.

Enunciado
1. Demostrar (de manera esquemática) que $(\mathbb{Z},+,\cdot)$, $(\mathbb{Q},+,\cdot)$, $(\mathbb{R},+,\cdot)$ y $(\mathbb{C},+,\cdot)$ son anillos conmutativos y unitarios en donde $+$ y $\cdot$ representan en cada caso la suma y el producto habituales.
2. Sea $\mathbb{R}[x]$ el conjunto de los polinomios en la indeterminada $x$ y coeficientes reales. Demostrar (esquemáticamente) que $(\mathbb{R}[x],+,\cdot)$ es anillo conmutativo y unitario en donde $+$ y $\cdot$ representan la suma y producto habituales.
3. Sea $\mathbb{R}^{n\times n}$ el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden $n$. Demostrar (esquemáticamente) que $(\mathbb{R}^{n\times n}+,\cdot)$ es anillo unitario y no conmutativo, siendo $+$ y $\cdot$ las operaciones usuales suma y producto de matrices.
4. Sea $A$ el conjunto de los números enteros pares. Demostrar que $(A,+,\cdot)$ es anillo conmutativo y no unitario en donde $+$ y $\cdot$ representan la suma y producto habituales de números enteros.
5. En el conjunto de los números reales se definen las operaciones $$x*y=x+y+4,\quad x\circ y=xy+4 x+4 y +12.$$ Demostrar que $(\mathbb{R},*,\circ)$ es anillo conmutativo.
6. En el conjunto $P=\{2x:x\in\mathbb{Z}\}$ se definen las operaciones $+$ habitual y $\circ,$ definida mediante $a\circ b=2ab.$ Demostrar que $(P,+,\circ)$ es anillo conmutativo y no unitario.
7. En el conjunto $\mathbb{Z}$ se definen las operaciones: $$a*b=a+b-1,\quad a\circ b=a+b-ab.$$ Demostrar que $(\mathbb{Z,*,\circ)}$ es anillo conmutativo con elemento unidad.
8. Demostrar que en un anillo $A$ con elemento unidad, la conmutatividad de la suma se puede deducir a partir de los restantes axiomas.

Solución
1. Vimos que $(\mathbb{Z},+)$ es grupo abeliano. Por otra parte, el producto de enteros es un entero y el producto de enteros sabemos que tiene las propiedades asociativa y distributiva. En consecuencia, $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ es anillo. Dado que el producto de enteros tiene la propiedad conmutativa y que el número $1$ es su elemento neutro, concluimos que $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ es anillo conmutativo y unitario. De manera análoga, deducimos que $(\mathbb{Q},+,\cdot)$, $(\mathbb{R},+,\cdot)$ y $(\mathbb{C},+,\cdot)$ son anillos conmutativos y unitarios.
2. Vimos que $(\mathbb{R}[x],+)$ es grupo abeliano. Por otra parte, el producto de elementos de $\mathbb{R}[x]$ es un elemento de $\mathbb{R}[x]$. El producto de estos polinomios según sabemos tienen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva y además el polinomio $e(x)=1$ es elemento neutro para el producto. Concluimos que $(\mathbb{R}[x],+,\cdot)$ es anillo conmutativo y unitario.
3. La suma es claramente interna y cumple según sabemos las propiedades asociativa y conmutativa. La matriz nula $0$ es elemento neutro y dada $A$, su elemento simétrico es $-A$. Es decir, $(\mathbb{R}^{n\times n},+)$ es grupo abeliano.
   Según sabemos, el producto es operación interna, asociativa y distributiva respecto de la suma. Además, la matriz identidad $I$ de orden $n$ es elemento neutro para el producto. Concluimos que $(\mathbb{R}^{n\times n},+,\cdot)$ es anillo unitario.
   No es conmutativo porque en general no se verifica la propiedad conmutativa para el producto de matrices, basta tomar como contraejemplo: $$A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end{bmatrix}.$$ Tenemos
   $$AB=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\quad BA=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix},$$ es decir $AB\neq BA$.
4. El número cero es par pues $0=2\cdot 0$, por tanto, $0\in A$. Si $a,b$ son enteros pares se verifica $a=2k$ y $b=2s$ con $k,s$ enteros. Esto implica $$a-b=2k-2s=2(k-s)\text{, siendo } k-s \text{ entero},$$ es decir $x-y\in A$. Hemos demostrado que $A$ es subgrupo del grupo aditivo $\mathbb{Z}$ y en consecuencia es grupo. Como la suma de enteros es conmutativa, $(A,+)$ es grupo conmutativo.
   De nuevo, para $a,b\in A$ tenemos $$ab=(2k)(2s)=2(2ks)\text{, siendo } 2ks \text{ entero},$$ es decir el producto es operación interna en $A$. Como la operación producto de enteros es asociativa, conmutativa y distributiva respecto de la suma, concluimos que $(A,+,\cdot)$ es anillo conmutativo. No es unitario, pues por ejemplo no existe ningún número par $e$ tal que $2e=2$.
5. Vimos aquí (apartado 3) que $(\mathbb{R},*)$ es grupo abeliano. Veamos ahora que $(\mathbb{R},\circ)$ es semigrupo.
   Interna. Claramente se cumple pues la suma y producto de números reales es un número real.
   Asociativa. Se cumple pues: $$\displaystyle\begin{aligned}
   (x\circ y)\circ z&=(xy+ 4x+4 y+12)\circ z\\
   &=xyz+4 xz+4 yz+12 z+4 xy+16x+16y+48 +4 z+12\\
   &=xyz+4 (xy+ xz+yz)+16(x+y+z)+60.
   \end{aligned}$$ $$\displaystyle\begin{aligned}
   x\circ (y\circ z)&=x\circ (yz+4 y+4 z+12)\\
   &=xyz+4 xy+4 xz+12x +4 x+4 yz+16y+16z+48 +12\\
   &=xyz+4 (xy+ xz+yz)+16(x+y+z)+60.
   \end{aligned}$$ La operación $\circ$ es claramente conmutativa. Esto implica que esta operación es distributiva respecto de $*$ si y sólo si se verifica $x\circ (y*z)=(x\circ y)*(x\circ z)$. Se cumple, pues: $$\displaystyle\begin{aligned}
   x\circ (y*z)&=x\circ (y+z+4)\\
   &=xy+xz+4x+4 x+4 y+4 z+16 +12\\
   &=xy+xz+4(2x+y+z)+28,
   \end{aligned}$$ $$\displaystyle\begin{aligned}
   (x\circ y)*(x\circ z)&=(xy+4 x+4 y+12)*(xz+4 x+4 z+12)\\
   &=xy+4 x+4 y+12+xz+4 x+4 z+12+4\\
   &=xy+xz+4(2x+y+z)+28.
   \end{aligned}$$ Concluimos que $(\mathbb{R},*,\circ)$ es anillo conmutativo.
6. $1)$ Veamos que $(P,+)$ es grupo abeliano; para ello basta demostrar que $P$ es subgrupo del grupo aditivo de los números enteros. Efectivamente, dado que $0=2\cdot 0,$ se verifica que $0\in P.$ Por otra parte, si $a,b\in P,$ entonces $a=2x$ y $b=2y$ para ciertos enteros $x$ e $y,$ lo cual implica $a-b=2x-2y=2(x-y)$ siendo $x-y\in\mathbb{Z},$ luego $a-b\in P.$
   $2)$ Veamos que $(P,\circ)$ es semigrupo.
   Interna. Sean $a,b\in P,$ entonces $a=2x$ y $b=2y$ para ciertos enteros $x$ e $y,$ lo cual implica $a\circ b=2(2x)(2y)=2(4xy)$ siendo $4xy\in\mathbb{Z},$ luego $a\circ b\in P.$
   Asociativa. Se verifica, pues para todo $a,b,c\in P:$ $$\begin{aligned}&a\circ(b\circ c)=a\circ (2bc)=2a(2bc)=4abc.\\
   &(a\circ b)\circ c=(2ab)\circ c=2(2ab)c=4abc.
   \end{aligned}$$ $3)$ Veamos que la operación $\circ$ es distributiva respecto de la operación $+.$ Dado que $\circ$ es conmutativa, bastará demostrar que para todo $a,b,c\in P$ se verifica $a\circ (b+c)=(a\circ b)+(a\circ c).$ En efecto:
   $$\begin{aligned}&a\circ(b+ c)=2a(b+c).\\
   &(a\circ b)+(a\circ c)=2ab+2ac=2a(b+c).
   \end{aligned}$$ Concluimos que $(P,+,\circ)$ es anillo conmutativo. No es unitario, pues si existiera elemento neutro $e$ para la operación $\circ,$ entonces:
   $$a\circ e=2ae=a,\quad \forall a\in P.$$ Eligiendo (por ejemplo) $a=2,$ se tendría $4e=2,$ es decir $e=1/2.$ Pero $1/2\notin P.$
7. $1)$ Veamos que $(\mathbb{Z,*)}$ es grupo abeliano.
   Interna. Se verifica, pues la suma de números enteros es un número entero.
   Asociativa. Se verifica, pues para todo $a,b,c\in \mathbb{Z}:$$$\begin{aligned}&a*(b*c)=a*(b+c-1)=a+b+c-2.\\
   &(a*b)*c=(a+b-1)*c=a+b+c-2.
   \end{aligned}$$ Conmutativa. Se verifica, pues para todo $a,b\in \mathbb{Z}:$
   $$a*b=a+b-1=b+a-1=b*a.$$ Elemento neutro. El número $1$ satisface para todo $a\in \mathbb{Z}:$ $$a*1=1*a=a+1-1=a.$$ en consecuencia, $1\in \mathbb{Z}$ es elemento neutro para la operación $*.$
   Elemento simétrico. Para todo $a\in \mathbb{Z},$ el número $2-a\in\mathbb{Z}$ satisface: $$a*(2-a)=(2-a)*a=a+2-a-1=1.$$ por tanto todo $a\in \mathbb{Z}$ tiene simétrico, siendo este, $2-a.$ Concluimos que $(\mathbb{Z},*,\circ)$ es grupo abeliano.
   $2)$ Veamos que $(\mathbb{Z,\circ)}$ es semigrupo.
   Interna. Se verifica, pues la suma y producto de números enteros es un número entero.
   Asociativa. Se verifica, pues para todo $a,b,c\in \mathbb{Z}:$ $$\begin{aligned}a\circ(b\circ c)&=a\circ(b+c-bc)\\
   &=a+b+c-bc-a(b+c-bc)\\
   &=a+b+c-bc-ab-ac+abc.
   \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}(a\circ b)\circ c&=(a+b-ab)\circ c\\
   &=a+b-ab+c-(a-b-ab)c\\
   &=a+b-ab+c-ac-bc+abc.
   \end{aligned}$$ Concluimos que $(\mathbb{Z,\circ)}$ es semigrupo. Ademas es conmutativo pues: $$a\circ b=a+b-ab=b+a-ba=b\circ a.$$ $3)$ Veamos que la operación $\circ$ es distributiva respecto de la operación $*.$ Dado que $\circ$ es conmutativa, bastará demostrar que para todo $a,b,c\in\mathbb{Z}$ se verifica $a\circ (b*c)=(a\circ b)*(a\circ c).$ En efecto: $$\begin{aligned}a\circ(b* c)&=a\circ(b+c-1)\\
   &=a+b+c-1-a(b+c-1)\\
   &=2a+b+c-ab-ac-1.
   \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}(a\circ b)*(a\circ c)&=(a+b-ab)*(a+c-ac)\\
   &=(a+b-ab)+(a+c-ac)-1\\
   &=2a+b+c-ab-ac-1.
   \end{aligned}$$ Concluimos que $(\mathbb{Z,+,\circ)}$ es anillo conmutativo. Además es unitario, pues el número $0\in \mathbb{Z}$ satisface para todo $a\in \mathbb{Z:}$
   $$a\circ 0=0\circ a=a+0-0a=a,$$ es decir $0\in \mathbb{Z}$ es elemento unidad del anillo.
8. Para todo $a,b$ elementos de $A,$ y usando la propiedad distributiva de dos maneras distintas: $$\begin{aligned}(1+1)(a+b)&=1(a+b)+1(a+b)\\
   &=a+b+a+b.\qquad (1)
   \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}(1+1)(a+b)&=(1+1)a+(1+1)b\\
   &=1a+1a+1b+1b\\
   &=a+a+b+b.\qquad (2)
   \end{aligned}$$ Igualando $(1)$ y $(2),$ queda $a+b+a+b=a+a+b+b.$ Teniendo en cuenta que en un grupo todos los elementos son regulares, deducimos que $b+a=a+b.$