Un problema de Dirichlet

Resolvemos un problema de Dirichlet en el semiplano $y>0.$

Enunciado
Se considera una función compleja $f(z)$ holomorfa en el semiplano $\textrm{Im}\;z\geq 0$ y tal que $|z|^p|f(z)|\leq M$ en dicho semiplano con $p>0,\;M>0$ constantes. Se pide:

1. Para cada $z_0\in \mathbb{C}:\textrm{Im}\;z_0<0 $ calcular la integral compleja curvilínea

$\displaystyle\int_{\Gamma_R}\displaystyle\frac{f(z)}{(z-z_0)(z-\bar{z}_0)}\;dz.$

siendo $\Gamma_R$ el circuito formado por la circunferencia $z(t)=Re^{it}$ con $t\in[0,\pi]$ y el segmento rectilíneo $[-R,R],$ recorrido en sentido positivo.

2. Si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ con $y>0,$ calcular

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{u(t,0)}{(t-x)^2+y^2}\;dt.$

3. Aplicando el apartado anterior a la función $f(z)=1/(z+i),$ resolver el siguiente problema de Dirichlet en el semiplano $y>0:$ Hallar una función $u(x,y)$ con $y>0$ tal que $\Delta u=0,\;u(x,0)=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}.$

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. La función $f(z)/(z-\bar{z}_0)$ es holomorfa en el interior geométrico de $\Gamma_R.$ Aplicando la fórmula integral de Cauchy:

$$\displaystyle\int_{\Gamma_R}\displaystyle\frac{f(z)}{(z-z_0)(z-\bar{z}_0)}\;dz=\displaystyle\int_{\Gamma_R}\displaystyle\frac{\frac{f(z)}{z-\bar{z}_0}}{(z-z_0)}\;dz$$ $$=2\pi i\displaystyle\frac{f(z_0)}{z_0-\bar{z}_0}=\displaystyle\frac{2\pi i f(z_0)}{2i\;\textrm{Im}\;z_0}=\displaystyle\frac{\pi f(z_0)}{\textrm{Im}\;z_0}.$$

2. Llamando $\Gamma$ a la parte del circuito formado por la semicircunferencia:

$\displaystyle\int_{\Gamma_R}\displaystyle\frac{f(z)\;dz}{(z-z_0)(z-\bar{z}_0)}=\displaystyle\int_{-R}^R\displaystyle\frac{u(t,0)+iv(t.0)}{(t-z_0)(t-\bar{z}_0)}\;dt+\displaystyle\int_{\Gamma}\displaystyle\frac{f(z)\;dz}{(z-z_0)(z-\bar{z}_0)}.\quad (1)$

En $\left|z\right|=R$ y teniendo en cuenta las hipótesis de acotación dadas:

$$\left | \dfrac{f(z)}{(z-z_0)(z-\bar{z}_0)} \right |=\dfrac{|f(z)|}{|z-z_0||z-\bar{z}_0|}\leq \dfrac{|f(z)|}{|\;|z|-|z_0| \;| \cdot |\;|z|-|\bar{z}_0|\;|}$$ $$=\dfrac{|f(z)|}{(z-z_0)\left(R^2-|z_0|^2\right)}\leq \dfrac{M/|z|^p}{\left(R^2-|z_0|^2\right)}=\dfrac{M}{R^p\left(R^2-|z_0|^2\right)}.$$

Entonces

$\left | \displaystyle\int_{\Gamma}\displaystyle\frac{f(z)\;dz}{(z-z_0)(z-\bar{z}_0)} \right |\leq \dfrac{M\pi R}{R^p\left(R^2-|z_0|^2\right)}\to 0 \mbox{ (si } R\to +\infty),$

lo cual implica que la integral a lo largo de $\Gamma$ tiende a $0$ cuando $R\to +\infty.$ Tomando límites en (1) cuando $R\to +\infty$ y usando que $(t-z_0)(t-\bar{z}_0)=(t-x_0)^2+y_0^2:$

$\displaystyle\frac{\pi f(z_0)}{\textrm{Im}\;z_0}=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{u(t,0)\;dt}{(t-x_0)^2+y_0^2}\;dt+i\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{v(t.0)\;dt}{(t-x_0)^2+y_0^2}\;dt\quad (2)$

(en el supuesto de que las integrales sean convergente). Tomando partes reales en (2) y denotando $x_0,\;y_0$ por $x,\;y:$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{u(t,0)\;dt}{(t-x)^2+y^2}\;dt=\displaystyle\frac{\pi \;\textrm{Re}\;f(z_0)}{\textrm{Im}\;z_0}.$

3. La función $f(z)=1/(z+i)$ es holomorfa en $\textrm{Im}\;z\geq 0.$ Podemos expresar

$$f(z)=\dfrac{1}{z+i}=\dfrac{1}{x+(y+1)i}=\dfrac{x-(y+1)i}{x^2+y^2+2y+1}$$ $$=
\dfrac{x}{x^2+y^2+2y+1}+i\dfrac{-(y+1)}{x^2+y^2+2y+1}=u(x,y)+iv(x,y).$$

Al ser $f(z)$ holomorfa para $y>0,$ $u(x,y)$ es armónica en $y>0,$ es decir $\Delta u=0.$ Además, $u(x,0)=x/(x^2+1).$