Límite puntual

Proporcionamos ejercicios sobre el límite puntual de sucesiones de funciones.

Enunciado
1. Se considera la sucesión de funciones $f_n:[-1,1]\to \mathbb{R},$ $f_n(x)=x^n.$ Determinar la función límite puntual.
2. Se considera la sucesión de funciones $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f_n(x)=e^{-n^2x^2}.$ Determinar la función límite puntual.
3. Se considera la sucesión de funciones $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $\;f_n(x)=\dfrac{x}{1+nx^2}.$ Determinar la función límite puntual.

Solución
1. Si $\left|x\right|<1,$ $f_n(x)=x^n\to 0$ por una conocida propiedad de límies de sucesiones. Si $x=1,$ $1^n=1$ y por tanto, $f_n(1)\to 1.$ Si $x=-1,$ $f_n(-1)=(-1)^n$ que es una sucesión oscilante. En consecuencia, la función límite puntual es $$f:(-1,1]\to \mathbb{R},$$ $$f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\left \{ \begin{matrix} 0& \mbox{ si }& \left|x\right|<1\\ 1& \mbox{ si }&x=1.\end{matrix}\right.$$
2. Si $x=0,$ $f_n(x)=1\to 1.$ Si $x\neq 0,$ $e^{n^2x^2}\to +\infty$ y por tanto, $$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{e^{n^2x^2}}=0$$ En consecuencia, la función límite puntual es $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=\left \{ \begin{matrix} 0& \mbox{ si }& x\neq 0\\ 1& \mbox{ si }&x=0.\end{matrix}\right.$$
3. Si $x=0,$ $f_n(0)=0\to 1.$ Si $x\neq 0,$ $1+nx^2\to +\infty$ y por tanto, $$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=x\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+nx^2}=x\cdot 0=0$$ En consecuencia, la función límite puntual es $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=\left \{ \begin{matrix} 0& \mbox{ si }& x\neq 0\\ 1& \mbox{ si }&x=0.\end{matrix}\right.$$