Definimos el concepto de seminorma, tanto arquimediana y no arquimediana en un anillo unitario y construimos la seminorma del supremo en el anillo de las funciones continuas.
- Demostrar que $N$ es una seminorma en $R$ (se la denomina seminorma del supremo).
- Demostrar que tal seminorma es arquimediana.
Enunciado
Si $R$ es un anillo unitario (elemento unidad $1_R$) una seminorma en $R$ es cualquier aplicación $N:R\to\mathbb{R}^+$ cumpliendo los axiomas $$\begin{aligned}&(1)\quad N\left(1_R\right)=1.\\
&(2)\quad N(xy)\le N(x)N(y)\quad \forall x,y\in R.\\
&(3)\quad N(x+y)\le N(x)+N(y)\quad \forall x,y\in R.\end{aligned}$$ Una seminorma en un anillo unitario $R$ se dice que es no arquimediana si el axioma $(3)$ es sustituye por la condición más fuerte $$(3)’\quad N(x+y)\le\max\{N(x),N(y)\}\forall x,y\in R,$$ llamada desigualdad ultramétrica, y si no se cumple $(3)’$ la seminorma se dice que es arquimediana.
Sea $R=\mathcal{C}(I)$ el anillo de las funciones reales continuas en el intervalo $I=[a,b]$ con las operaciones habituales suma y producto. Se define la aplicación $$N:R\to \mathbb{R}^+,\quad N(f)=\sup\{\left|f(x)\right|:x\in I\}.$$
Si $R$ es un anillo unitario (elemento unidad $1_R$) una seminorma en $R$ es cualquier aplicación $N:R\to\mathbb{R}^+$ cumpliendo los axiomas $$\begin{aligned}&(1)\quad N\left(1_R\right)=1.\\
&(2)\quad N(xy)\le N(x)N(y)\quad \forall x,y\in R.\\
&(3)\quad N(x+y)\le N(x)+N(y)\quad \forall x,y\in R.\end{aligned}$$ Una seminorma en un anillo unitario $R$ se dice que es no arquimediana si el axioma $(3)$ es sustituye por la condición más fuerte $$(3)’\quad N(x+y)\le\max\{N(x),N(y)\}\forall x,y\in R,$$ llamada desigualdad ultramétrica, y si no se cumple $(3)’$ la seminorma se dice que es arquimediana.
Sea $R=\mathcal{C}(I)$ el anillo de las funciones reales continuas en el intervalo $I=[a,b]$ con las operaciones habituales suma y producto. Se define la aplicación $$N:R\to \mathbb{R}^+,\quad N(f)=\sup\{\left|f(x)\right|:x\in I\}.$$
- Veamos que la aplicación dada satisface en el anillo de las funciones dado los axiomas de seminorma. Efectivamente, la función $N$ está bien definida por un conocido resultado de Análisis. La función $1_R$ es $1_R(x)=1$ para todo $x\in I,$ por tanto $$ N\left(1_R\right)=\sup\{\left|1_R(x)\right|:x\in I\}=\sup\{1:x\in I\}=1.$$ Sean ahora $f,g\in R.$ Tenemos $$N(fg)=\sup\{\left|(fg)(x)\right|:x\in I\}=\sup\{\left|f(x)g(x)\right|:x\in I\}$$ $$=\sup\{\left|f(x)\right|\left|g(x)\right|:x\in I\}$$ $$\le \sup\{\left|f(x)\right|:x\in I\}\sup\{\left|g(x)\right|:x\in I\}=N(f)N(g).$$ Por otra parte, $$N(f+g)=\sup\{\left|(f+g)(x)\right|:x\in I\}=\sup\{\left|f(x)+g(x)\right|:x\in I\}$$ $$=\sup\{\left|f(x)\right|+\left|g(x)\right|:x\in I\}$$ $$\le \sup\{\left|f(x)\right|:x\in I\}+\sup\{\left|g(x)\right|:x\in I\}=N(f)+N(g).$$ Por tanto, $N$ es seminorma.
- Si $f=g=1_R$ tenemos $N(f)=N(g)=1$ y $$N(f+g)=\sup\{(1_R+1_R)(x):x\in I\}=\sup\{2:x\in I\}=2,$$ lo cual implica que $2=N(f+g)\not\le \max\{N(f),N(g)\}=1.$
Solución
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