Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$

Definimos los anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ y estudiamos algunas de sus propiedades.

Enunciado
Sea $d\in\mathbb{Z}-\{0,1\}$ y libre de cuadrados, es decir no es divisible por el cuadrado de ningún entero salvo el $1.$ Se define $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]:=\{a+b\sqrt{d}:a,b\in\mathbb{Z}\}.$
1. Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es subanillo de $\mathbb{C}.$
2. Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es dominio de integridad.
3. Para todo $\alpha=a+b\sqrt{d}\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ se define el conjugado de $\alpha$ como $\overline{\alpha}=a-b\sqrt{d}$. Demostrar que para todo $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ se verifica $\overline{\alpha \beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}.$
4. Para todo $\alpha\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ se define la norma de $\alpha$ como $N(\alpha)=\alpha\overline{\alpha}.$ Demostrar que $N$ es función con valores enteros y multiplicativa.
5. Sea $\alpha\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}].$ Demostrar que: $N(\alpha)=\pm 1\Leftrightarrow \alpha$ es unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{d}].$

Solución
1. Claramente $\emptyset\ne\mathbb{Z}[\sqrt{d}]\subset \mathbb{C}.$ Si $a+b\sqrt{d},a^\prime+b^\prime\sqrt{d}\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}],$ se verifica $$(a+b\sqrt{d})-(a^\prime+b^\prime\sqrt{d})=(a-a^\prime)+(b-b^\prime)\sqrt{d}$$ y al ser $a-a^\prime$ y $b-b^\prime$ enteros, $(a+b\sqrt{d})-(a^\prime+b^\prime\sqrt{d})\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}].$ Por otra parte $$(a+b\sqrt{d})(a^\prime+b^\prime\sqrt{d})=aa^\prime+dbb^\prime +(ab^\prime +ba^\prime)\sqrt{d}$$ y al ser $aa^\prime+dbb^\prime$ y $ab^\prime +ba^\prime$ enteros, $(a+b\sqrt{d})(a^\prime+b^\prime\sqrt{d})\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}].$ Concluimos pues que $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es subanillo de $\mathbb{C}.$
2. $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es conmutativo por serlo $\mathbb{C},$ es unitario pues $1=1+0\sqrt{d}\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ y es anillo de integridad por serlo $\mathbb{C},$ en consecuencia $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es dominio de integridad.
3. En efecto, si $\alpha=a+b\sqrt{d}$ y $\beta=a^\prime+b^\prime\sqrt{d}$, $$\overline{\alpha}\overline{\beta}=(a-b\sqrt{d})(a^\prime-b^\prime\sqrt{d})=aa^\prime+dbb^\prime-(ab^\prime+ba^\prime)\sqrt{d},$$ $$\overline{\alpha\beta}=\overline{aa^\prime+dbb^\prime +(ab^\prime +ba^\prime)\sqrt{d}}=aa^\prime+dbb^\prime +(ab^\prime -ba^\prime)\sqrt{d}.$$
4. Para todo $\alpha=a+b\sqrt{d},$ su norma es $N(\alpha)=\alpha\overline{\alpha}=(a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d})=a^2-db^2\in\mathbb{Z}.$ Por otra parte, para todo $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ tenemos
   $$N(\alpha\beta)=(\alpha\beta)(\overline{\alpha\beta})=\alpha\beta\;\overline{\alpha}\overline{\beta}=\alpha\overline{\alpha}\;\beta\overline{\beta}=N(\alpha)N(\beta).$$
5. $\Rightarrow)$ Si $N(\alpha)=1$, entonces $\alpha\overline{\alpha}=1$ y por tanto $\alpha$ es unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{d}].$ Si $N(\alpha)=-1$, entonces $\alpha(-\overline{\alpha})=1$ y por tanto $\alpha$ es unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{d}].$
   $\Leftarrow)$ Si $\alpha\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es unidad, existe $\alpha^{-1}\in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ tal que $\alpha\alpha^{-1}=1.$ Tomando normas, y usando que la norma es multiplicativa, $1=N(1)=N(\alpha\alpha^{-1})=N(\alpha)N(\alpha^{-1})$. Ahora bien, la norma es un número entero y por tanto $N(\alpha)$ ha de ser $1$ o $-1.$