Concepto de isometría en el plano

RESUMEN. Definimos el concepto de isometría en el plano y proporcionamos ejemplos.

  1. Definición. Sea una aplicación $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$. Se dice que $h$ es una isometría en el plano si para cualquier par de puntos $P,Q\in\mathbb{R}^2$ se verifica $$d\left(h(P),h(Q)\right)=d\left(P,Q\right)$$ en donde $d$ representa la distancia euclídea. Es decir, $h$ es isometría si conserva la distancia entre puntos.
  2. Nota. Usando la identificación $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ con $x+iy\in \mathbb{C}$, una isometría en el plano se puede ver como una aplicación $h:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ que verifica $\left|h(z)-h(\omega)\right|=\left|z-\omega\right|$ para todo $z,\omega\in\mathbb{C}.$
  3. Ejemplos. 1) Las traslaciones son isometrías pues toda traslación es de la forma $h(z)=z+\beta$ con $\beta\in\mathbb{C}$ fijo, por tanto $\left|h(z)-h(\omega)\right|=\left|z-\omega\right|$. En particular para $\beta=0$ obtenemos la aplicación identidad.
    2) La composición de isometrías es isometría. En efecto, si $h_1,h_2$ son isometrías entonces $\forall z,\omega\in\mathbb{C}$: $$\left|(h_1\circ h_2)(z)-(h_1\circ h_2)(\omega)\right|=\left|h_1[h_2(z)]-h_1[h_2(\omega)]\right|$$ $$=\left|h_2(z)- h_2(\omega)\right|=\left|z-\omega\right|.$$ 3) La simetría sobre el eje $x$ viene dada por $h(z)=\bar{z}$ y es isometría pues para todo $ z,\omega\in\mathbb{C}$ se verifica $\left|h(z)- h(\omega)\right|=\left|\bar{z}-\bar{\omega}\right|=\left|\overline{z-\omega}\right|=\left|z-\omega\right|.$
    4) Por conocidas propiedades de los números complejos, sabemos que la multiplicación de $e^{i\theta}$ ($\theta$ real) por el número complejo $z=x+iy$ corresponde a girar $z$ un ángulo $\theta$ alrededor del origen. Llamando $h(z)=e^{i\theta}z$ tenemos para todo $z,\omega\in\mathbb{C}$ $$\left|h(z)-h(\omega)\right|=\left|e^{i\theta}z-e^{i\theta}\omega\right|=\left|e^{i\theta}\right|\left|z-\omega\right|=1\cdot \left|z-\omega\right|=\left|z-\omega\right|$$ y por tanto los giros alrededor del origen son isometrías.
    5) Si $h$ es isometría, la función conjugada $\bar{h}$ definida por $\bar{h}(z):=\overline{h(z)}$ también es isometría dado que $$\left|\bar{h}(z)- \bar{h}(\omega)\right|=\left|\overline{{h}(z)}- \overline{{h}(\omega)}\right|=\left|\overline{h(z)-h(\omega)}\right|=\left|h(z)-h(\omega)\right|=\left|z-\omega\right|.$$
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