Nilradical y radical de Jacobson

RESUMEN. Definimos el nilradical y radical de Jacobson de un anillo conmutativo y unitario, y demostramos algunas de sus propiedades.

Enunciado.
Sea $A$ un anillo conmutativo y unitario y denominemos
$$\mathcal{N}=\{x\in A: x\text{ es nilpotente}\}.$$
1. Demostrar que $\mathcal{N}$ es un ideal de $A.$ Se le llama nilradical de $A.$
2. Demostrar que $A/\mathcal{N}$ no tiene elementos nilpotentes no nulos.
3. Demostrar que el nilradical $\mathcal{N}$ es la intersección de todos los ideales primos de $A.$
4. Se define el radical de Jacobson $\mathcal{J}$ como la intersección de todos los ideales maximales de $A.$ Estudiar la relación entre el nilradical y el radical de Jacobson.
5. Demostrar la siguiente caracterización del radical de Jacobson: $$ x\in\mathcal{J}\Leftrightarrow 1-xy\text{ es unidad en }A\text{ para todo }y\in A. $$
6. Determinar el nilradical y el radical de Jacobson en $\mathbb{Z}.$

Solución.
1. Claramente, $0\in \mathcal{N}.$ Si $x,y\in\mathcal{N}$, existen enteros positivos $m$ y $n$ tales que $x^m=0$ e $y^n=0.$ Aplicando la fórmula del binomio de Newton para anillos conmutativos: $$(x+y)^{m+n-1}=\sum_{k=0}^{m+n-1}\binom{m+n-1-k}{k}x^{m+n-1-k}y^k.$$ Si $k\ge n$, entonces $y^k=0$ y si $ k < n$, entonces $m+n-1-k \ge m$ con lo cual $x^{m+n-1-k}=0.$ Es decir, $(x+y)^{m+n-1}=0$ y por tanto $x+y\in\mathcal{N}.$ Si $a\in A$ y $x\in \mathcal{N}$, entonces $(ax)^m=a^mx^m=a^m0=0$, es decir $ax\in\mathcal{N}.$ Concluimos que $\mathcal{N}$ es un ideal de $A.$
2. Si $x+\mathcal{N}\in A/\mathcal{N}$ es nilpotente, existe entero positivo $n$ tal que $(x+\mathcal{N})^n=0+\mathcal{N}$. Entonces, $$(x+\mathcal{N})^n=x^n+\mathcal{N}=0+\mathcal{N}\Rightarrow x^n-0\in \mathcal{N}\Rightarrow x^n\in \mathcal{N}$$ $$\Rightarrow \exists m\text{ entero positivo}:(x^n)^m=x^{mn}=0\Rightarrow x\in \mathcal{N}\Rightarrow x+\mathcal{N}=0+\mathcal{N}.$$
3. Llamemos $\mathcal{N}_1$ a la intersección de todos los ideales primos de $A.$ Si $x\in \mathcal{N}$, entonces $x^n=0$ para algún entero positivo $n.$ Entonces, para todo ideal primo $I$ de $A$ se verifica $0=x^n\in I$, con lo cual $x\in I$. Es decir, $x\in\mathcal{N}_1 .$ Hemos demostrado que $\mathcal{N} \subset \mathcal{N}_1.$
   Veamos ahora que $\mathcal{N}_1\subset \mathcal{N}.$ Supongamos que $a\notin \mathcal{N}$ y definamos $$\sum=\{I:I\text{ es ideal de }A\text{ con }a^n\notin I\text{ para todo }n>0\}.$$ Ordenemos $\sum$ por inclusión. Aplicaremos el lema de Zorn para demostrar que $\sum$ tiene un elemento maximal. En efecto, $\{0\}\in \sum$ y por tanto $\sum\ne \emptyset.$ Sea ahora $\{I_{\alpha}\}$ una cadena de elementos de $\sum.$ Para cada par de subíndices $\alpha,\beta$ se verifica $I_{\alpha}\subset I_{\beta}$ o bien $I_{\beta}\subset I_{\alpha}$ lo cual implica que $J=\bigcup_{\alpha}I_{\alpha}$ es ideal y ademas, $J\in \sum$ es decir $J$ es cota superior en $\sum$ de la cadena. Por el lema de Zorn, existe un ideal maximal $M$ en $\sum.$
   Demostremos que $M$ es ideal primo. En efecto, si $x\notin M$ e $y\notin M$ entonces los ideales $M+(x)$ y $M+(y)$ contienen estríctamente a $M$ por tanto no pertenecen a $\sum$ con lo cual $$a^m\in M+(x),\;\; a^n\in M+(y)\text{ para ciertos enteros positivos }m,n.$$ Esto implica que $a^{m+n}\in M+(xy),$ luego $M+(xy)$ no pertenece a $\sum$, en consecuencia $xy\notin M.$ Es decir, existe un ideal primo $M$ tal que $a\notin M$ con lo cual $a\notin \mathcal{N}_1.$
4. Como todo ideal maximal es primo concluimos que el nilradical está contenido en el radical de Jacobson.
5. $\Rightarrow)$ Si $1-xy$ no es unidad, por una conocida propiedad, $1-xy$ pertenece a un ideal maximal $I.$ Pero $x\in \mathcal{J}\subset I$ con lo cual $xy\in I$ y por tanto $1\in I.$ Esto contradice la maximalidad de $I.$
   $\Leftarrow)$ Si $x\notin \mathcal{J}$ entonces $x\notin I$ para algún ideal maximal $I.$ Por tanto $I+(x)=A$ con lo cual $u+xy=1$ para algún $u\in I$ y para algún $y\in A.$ Esto quiere decir que $1-xy\in I$ es unidad, que es absurdo pues $I$ es maximal.
6. El único elemento nilpotente en $\mathbb{Z}$ es $0$, por tanto $\mathcal{N}=\{0\}.$ Si $x\in \mathcal{J}$, entonces por el apartado anterior $1-xy$ es unidad de $\mathbb{Z}$ para todo $y\in\mathbb{Z}.$ Si $x\ne 0$, $1-xy$ recorre infinitos elementos en $\mathbb{Z}$ cuando $y$ recorre $\mathbb{Z}.$ Pero las únidades en $\mathbb{Z}$ son $1$ y $-1$, luego necesariamente $x=0.$ Es decir, $\mathcal{J}=\{0\}.$