Teorema de representación de Riesz-Fréchet

RESUMEN. Sea $H$ un espacio de Hilbert sobre $\mathbb{K}.$ Sabemos que para todo $y\in H,$ la aplicación $T_y:H\to \mathbb{K}$ dada por $T_y(x)=\langle x,y\rangle$ es lineal y continua. Demostramos ahora el teorema de representación de Riesz-Fréchet: toda aplicación lineal y continua de $H$ en $\mathbb{K}$ es de la forma anterior.

Teorema (de representación de Riesz-Fréchet). Sea $H$ un espacio de Hilbert sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $L:H\to \mathbb{K}$ una aplicación lineal y continua. Entonces, existe un único $y\in H$ tal que $$L(x)=\langle x,y\rangle\qquad (\forall x\in H).$$

Demostración. Si $L$ es la aplicación nula basta elegir $y=0.$ En otro caso, sea $$F=\ker L=\{x\in H:L(x)=0\}.$$ Como $L$ es continua y $\{0\}$ cerrado en $\mathbb{K}$, $F=L^{-1}(\{0\})$ es cerrado y como $L(x)\ne 0$ para algún $x$, por el apartado (8) de Proyecciones ortogonales en espacios de Hilbert, $F^\perp$ contiene algún vector no nulo. Existe pues $v\in F^\perp$ con $\|v\|$=1.
Llamemos $u=L(x)v-L(v)x.$ Dado que $$L(u)=L(x)L(v)-L(v)L(x)=0$$ tememos que $u\in F,$ es decir $\langle u,v\rangle=0.$ Entonces, $$0=\langle u,v \rangle = \langle L(x)v-L(v)x,v \rangle$$ $$=L(x)\langle v,v\rangle-L(v)\langle x,v\rangle=L(x)-\langle x,\overline{L(v)}v\rangle$$ y tomando $y=\overline{L(v)}v$ obtenemos $L(x)=\langle x,y\rangle$ para todo $x\in H.$
Demostremos ahora la unicidad del vector $y.$ Si $\langle x,y \rangle=\langle x,y^\prime\rangle$ para todo $x\in H$, entonces $\langle x,y-y^\prime\rangle=0$ para todo $x\in H.$ Eligiendo $x=y-y^\prime$ queda $\|y-y^\prime\|=0$, es decir $y=y^\prime.$