Anillo de sucesiones

Demostramos que se puede dotar al conjunto de las sucesiones reales de una estructura de anillo.

Enunciado
Se considera el conjunto $\mathcal{S}$ de las sucesiones $x$ de números reales, es decir $$x=(x_1,x_2,x_3,\ldots),\quad x_n\in\mathbb{R}\;\forall n=1,2,3,\ldots,$$ escritas abreviadamente por $x=(x_n).$ Se definen en $\mathcal{S}$ las operaciones: $$(x_n)+(y_n)=(x_n+y_n),\quad (x_n)\cdot (y_n)=(x_ny_n).$$ Demostrar que $(\mathcal{S},+,\cdot)$ es un anillo conmutativo y unitario.

Solución
$1)$ Veamos que $(\mathcal{S},+)$ es grupo abeliano.

Interna. Dado que la suma de dos números reales es un número real, la suma de dos elementos de $\mathcal{S}$ pertenece a $\mathcal{S}.$

Asociativa. Para todo $x=(x_n),\;y=(y_n),\;z=(z_n)$ elementos de $\mathcal{S}$ y aplicando la propiedad asociativa de la suma de números reales: $$\begin{aligned}&(x+y)+z=\left((x_n)+(y_n)\right)+(z_n)=(x_n+y_n)+(z_n)=\left((x_n+y_n)+z_n\right)\\
&=\left(x_n+(y_n+z_n)\right)=(x_n)+(y_n+z_n)=(x_n)+\left((y_n)+(z_n)\right)=x+(y+z).
\end{aligned}$$ Elemento neutro. La sucesión $0=(0),$ cuyos términos son todos nulos, es elemento neutro para la suma de sucesiones, pues para todo $x=(x_n)\in \mathcal{S}:$ $$\begin{aligned}& x+0=(x_n+0)=(x_n)=x.\\
&0+x=(0+x_n)=(x_n)=x.
\end{aligned}$$ Elemento simétrico. Dada $x=(x_n)\in \mathcal{S},$ la sucesión $-x=(-x_n)$ es elemento simétrico de $x,$ pues: $$\begin{aligned}&x+(-x)=(x_n+(-x_n))=(0)=0 .\\
&(-x)+x=((-x_n)+x_n)=(0)=0.
\end{aligned}$$ Conmutativa. Para todo  $x=(x_n),\;y=(y_n)$ elementos de $\mathcal{S}$ y usando la propiedad conmutativa de la suma de números reales:  $$\begin{aligned} x+y=(x_n)+(y_n)=(x_n+y_n)=(y_n+x_n)=(y_n)+(x_n)=y+x.
\end{aligned}$$  $2)$ Veamos que $(\mathcal{S},\cdot)$ es semigrupo.

Interna. Dado que el producto de dos números reales es un número real, el producto de dos elementos de $\mathcal{S}$ pertenece a $\mathcal{S}.$

Asociativa. Para todo $x=(x_n),\;y=(y_n),\;z=(z_n)$ elementos de $\mathcal{S}$ y aplicando la propiedad asociativa del producto de números reales: $$\begin{aligned}&(xy)z=\left((x_n)(y_n)\right)(z_n)=(x_ny_n)(z_n)=\left((x_ny_n)z_n\right)=\\
&\left(x_n(y_nz_n)\right)=(x_n)(y_nz_n)=(x_n)\left((y_n)(z_n)\right)=x(yz).
\end{aligned}$$ Además, el semigrupo es conmutativo, pues para todo  $x=(x_n),\;y=(y_n)$ elementos de $\mathcal{S}$ y usando la propiedad conmutativa del producto de números reales: $$ xy=(x_n)(y_n)=(x_ny_n)=(y_nx_n)=(y_n)(x_n)=yx.$$   $3)$ Veamos que la operación producto es distributiva respecto de la suma. Dado que el producto en $\mathcal{S}$ es conmutativo, bastará demostrar que para todo $x,y,z$ elementos de $\mathcal{S}$ se verifica $x(y+z)=xy+xz.$

En efecto, para todo $x=(x_n),\;y=(y_n),\;z=(z_n)$ elementos de $\mathcal{S}$ y aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma de números reales: $$\begin{aligned}&x(y+z)=(x_n)\left((y_n)+(z_n)\right)=(x_n)(y_n+z_n)=\left(x_n(y_n+z_n)\right)=\\
&\left(x_ny_n+x_nz_n\right)=(x_ny_n)+(x_nz_n)=(x_n)(y_n)+(x_n)(z_n)=xy+xz.
\end{aligned}$$ Concluimos que $(\mathcal{S},+,\cdot)$ es un anillo conmutativo. Es además unitario, pues la sucesión $1=(1)$ cuyos términos son todos iguales $1$, es elemento neutro para la suma de sucesiones, ya que para todo $x=(x_n)\in \mathcal{S}:$ $$\begin{aligned}& x1=(x_n1)=(x_n)=x.\\
&1x=(1x_n)=(x_n)=x.
\end{aligned}$$