Teorema de Heine

Demostramos el teorema de Heine.

Enunciado
Demostrar el teorema de Heine:
Sean $a,b\in \mathbb{R}$ con $a<b$ y  $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua. Entonces,  $f$ es uniformemente continua.

Solución.  Supongamos que $f$ no es uniformemente continua. Entonces, existe un $\epsilon_0 >0$ y dos sucesiones $(x_n)$ e $(y_n)$ de puntos de $[a,b]$ tales que $(x_n-y_n)\to 0$ y $\left|f(x_n)-f(y_n)\right|\geq \epsilon_0$ para todo $n$ natural.

Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, la sucesión $(x_n)$ tiene una subsucesión $(x_{n_k})$ que converge a un punto $x\in[a,b]$. Puesto que $(x_n-y_n)\to 0$ tenemos también $(x_{n_k}-y_{n_k})\to 0$, luego $(y_{n_k})\to x$.

Como $f$ es continua en $x$, se verifica $(f(x_{n_k}))\to f(x)$ y también $(f(y_{n_k}))\to f(x)$.
Esto es una contradicción pues $\left|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})\right|\geq \epsilon_0$ para toto $n$ natural.