Tres igualdades en un grupo

Demostramos que un grupo es abeliano a partir de tres igualdades.

Enunciado
Sea $(G,\cdot)$ un grupo. Supongamos que existe un entero $k$ tal que para cualesquiera que sean $a$ y $b$ pertenecientes a $G$ se verifica $$(ab)^{k-1}=a^{k-1}b^{k-1},\quad  (ab)^{k}=a^{k}b^{k},\quad (ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}.$$ Demostrar que $(G,\cdot)$ es abeliano.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Aeronaúticos, UPM ).

Solución
Usando las relaciones $(ab)^{k-1}=a^{k-1}b^{k-1}$ y $(ab)^{k}=a^{k}b^{k}:$ $$\displaystyle\begin{aligned}
&(ab)^{k-1}=a^{k-1}b^{k-1}=a^{-1}a^kb^kb^{-1}=a^{-1}(ab)^kb^{-1}\\
&=a^{-1}(ab)(ab)\ldots (ab)b^{-1}=(ba)(ba)\ldots (ba)=(ba)^{k-1}.
\end{aligned}$$ Usando las relaciones $(ab)^{k}=a^{k}b^{k}$ y $(ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}:$
$$\displaystyle\begin{aligned}
&(ab)^{k}=a^{k}b^{k}=a^{-1}a^{k+1}b^{k+1}b^{-1}=a^{-1}(ab)^{k+1}b^{-1}\\
&=a^{-1}(ab)(ab)\ldots (ab)b^{-1}=(ba)(ba)\ldots (ba)=(ba)^{k}.
\end{aligned}$$ Por la igualdad $(ab)^{k-1}=(ba)^{k-1}:$ $$\left \{ \begin{matrix} (ab)^k=(ab)^{k-1}(ab)\\  (ba)^k=(ba)^{k-1}(ba)=(ab)^{k-1}(ba)\end{matrix}\right.$$ y por la igualdad $(ab)^{k}=(ba)^{k},$ tenemos $(ab)^{k-1}(ab)=(ab)^{k-1}(ba).$ Por la propiedad cancelativa de los grupos concluimos que $ab=ba$ para cualesquiera que sean $a$ y $b$ pertenecientes a $G$, es decir $(G,\cdot)$ es abeliano.

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